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CONTENUTO DELLA PAGINA
La divisione tra polinomi
Algoritmo di divisione tra polinomi
Sintesi
La divisione tra polinomi
La divisione con resto è un'operazione che si può sempre svolgere tra due polinomi; è un po' articolata, richiede alcuni passaggi, proprio come accade con la divisione tra numeri a più cifre.
Iniziamo con il dire che:
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La divisione con resto tra un polinomio P e un polinomio D ≠ 0, si può sempre fare, e consiste nel determinare due polinomi Q ed R tali che:
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Infatti, proprio come avviene tra numeri, anche nella divisione tra polinomi ci sono gli stessi soggetti:
- il polinomio
dividendo P, ossia il polinomio che deve essere diviso;
- il polinomio
divisore D ≠ 0, il polinomio per il quale dividere;
- il polinonio
quozionte Q, il risultato della divisione;
- il polinomio
resto R, quanto avanza dalla divisione;
In particolare:
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Il polinomio P è divisibile per il polinomio D ≠ 0, se esiste un polinomio Q tale che:
P = Q · D
ossia se e solo se R = 0, cioè il polinomio nullo.
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Nel caso di polinomi con più variabili, i risultati della divisione dipendono da quale variabile sia quella principale.
Consideriamo P e D polinomi ad una sola variabile; sia siano nP, nD, nQ, nR i gradi di questi quattro polinomi rispetto a tale variabile; allora:
- se nP < nD allora Q = 0, cioè il polinomio nullo, ed R = P;
- se nP = nD allora nQ = 0, ossia Q è un numero, ed R = 0;
- se nD = 1, allora nR = 0, ossia R è un numero.
In generale vale la regola che, se nP ≥ nD, allora :
Osservazione: la condizione che nR < nD è fondamentale per poter ottenere un'unica soluzione per Q ed R; infatti nel caso in cui non valga tale condizione, o anche se si cambia la variabile principale da studiare, possono ottenersi soluzioni diverse.
Ma come si svolge la divisione tra polinomi? risolvere una divisione tra polinomi vuol dire trovare i polinomi Q ed R, partendo da P e D; ovviamente nel caso in cui P e D siano numeri, monomi, o polinomi di primo grado, svolgere la divisione non è troppo impegnativo.
Ad esempio la divisione tra un polinomio P e un monomio D ha le stesse regole della moltiplicazione, in quanto ogni termine del polinomio si deve dividere per il monomio divisore; valgono inoltre tutte le osservazioni fatte fin qui.
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Esempio 15. Svolgiamo le seguenti divisioni:
- (3a²b + 6ab³ + 2ac²) ∶ (3a)
- (3a²b + 6ab³ + 2ac²) ∶ (a²)
- (4a²b + 6ab² + 8b³) ∶ (2a²b + 3ab² + 4b³)
Svolgimento 1. Per risolvere questa divisione dobbiamo dividere (se possibile) ogni termine del polinomio dividendo per il monomio divisore, tramite una divisione tra monomi:
- 3a²b ∶ 3a = ab
- 6ab³ ∶ 3a = 2b³
- 2ac² ∶ 3a = 2⁄3c²
Conclusione: I due polinomi sono divisibili, quindi R = 0 e il polinomio quoziente è:
Q = ab + 2b³ + 2⁄3c²
Svolgimento 2. Anche in questo caso dobbiamo dividere (se possibile) ogni termine del polinomio dividendo per il monomio divisore:
- 3a²b ∶ a² = b
- 6ab³ ∶ a² = ???
- 2ac² ∶ a² = ???
Conclusione: I due polinomi non sono divisibili, quindi il quoziente è dato dall'unico risultato ottenuto, mentre i due termini non divisibili compongono il resto:
Q = b
R = 6ab³ + 2ac²
Svolgimento 3. In questo terzo caso non abbiamo come divisore un singolo monomio, percui non possiamo applicare la proprietà distributiva come in precedenza; osserviamo tuttavia che i due polinomi contengono termini con le stesse parti letterali e con i coefficienti in proporzione; questo vuol dire che sono multipli uno dell'altro, infatti:
- 4a²b ∶ 2a²b = 2
- 6ab² ∶ 3ab² = 2
- 8b³ ∶ 4b³ = 2
Conclusione: I due polinomi sono divisibili, quindi R = 0 e Q = 2
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Nel caso in cui invece P e D siano polinomi di grado maggiore, o che non siano multipli tra loro, dobbiamo ricorrere a strumenti più avanzati, come l'algoritmo di divisione tra polinomi.
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Algoritmo di divisione tra polinomi
L'algoritmo di divisione tra polinomi è una procedura formata da una serie di operazioni e regole da seguire, per determinare il quoziente e il resto di una divisione; tale procedura è molto simile a quella usata per risolvere la divisioni tra numeri a più cifre: infatti si basa sull'applicazione di divisioni successive, solamente che qui, invece di operare sulle singole cifre, studiamo i termini con i loro gradi; è importante quindi che i polinomi siano ordinati, prima di iniziare.
Ogni ciclo di questa successione si compone di tre passaggi:
- divisione: si calcola un termine del quoziente, dividendo tra loro i termini di grado più alto del polinomio dividendo (o nei cicli successivi dell'ultimo resto parziale) e del divisore;
- moltiplicazione: si moltiplica il termine ottenuto per tutto il divisore, ottenendo un polinomio di confronto;
- sottrazione: si calcola la differenza tra il polinomio dividendo (o l'ultimo resto parziale) con questo polinomio di confronto, per ottenere un nuovo resto parziale.
Ad ogni ciclo si ottenengono quozienti e resti parziali di grado sempre minore; quando il resto che si ottiene ha grado minore del divisore D, la divisione è terminata e il resto diventa definitivo; tutti i quozienti parziali formano il polinomio quoziente (ovviamente se il grado del dividendo è da subito minore di quello del divisore, la divisione non si svolge proprio).
Descriviamo questo algoritmo con un esempio concreto:
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Esempio 11. Svolgiamo la divisione:
(2x⁴ + 6x³ + 2x² − 6) ∶ (2x² + 3).
Osserviamo che il dividendo ha grado 4, mentre il divisore ha grado 2; di conseguenza ha senso svolgere la divisione, e ci aspettiamo un quoziente di grado 2 e un resto di grado minore o uguale a 1.
Inseriamo quindi i due polinomi nella classica tabella di divisione, scrivendo a sinistra il dividendo (facendo attenzione a lasciare un posto per ogni grado) e a destra il divisore:
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0x |
−6 |
2x² + 3 |
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1. Effettuiamo la divisione tra i termini di grado più alto dei due polinomi:
2x⁴ ∶ 2x² = x²
abbiamo ottenuto il primo termine del quoziente, che scriviamo sotto al divisore:
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0x |
−6 |
2x² + 3 |
| |
|
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|
|
x² |
| |
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2. Moltiplichiamo questo termine per tutto il divisore, ottenendo il polinomio di confronto:
x² · (2x² + 3) = 2x⁴ + 3x²
osserviamo che questo polinomio è molto simile al dividendo, in particolare deve avere lo stesso termine di grado più alto. Inseriamo il polinomio ottenuto sotto al dividendo, facendo attenzione ad inserire ogni grado nella colonna giusta.
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0x |
−6 |
2x² + 3 |
| 2x⁴ |
|
+3x² |
|
|
x² |
| |
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3. Calcoliamo la differenza tra questi due polinomi, per ottenere il primo resto parziale (può esser utile cambiare prima tutti i segni al polinomio di confronto e poi fare una normale somma algebrica).
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0 |
−6 |
2x² + 3 |
| −2x⁴ |
|
−3x² |
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|
x² |
| \\ |
+6x³ |
−x² |
0x |
−6 |
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Il resto parziale ottenuto non ha ancora grado minore del divisore, quindi dobbiamo ricominciare il ciclo, ripartendo da questo resto.
1. Effettuiamo la divisione tra i termini di grado più alto dei due polinomi, per ottenere il secondo termine del quoziente:
+6x³ ∶ 2x² = 3x
2. Moltiplichiamo questo termine per tutto il divisore, ottenendo un secondo polinomio di confronto:
3x · (2x² + 3) = 6x³ + 9x
3. Calcoliamo la differenza tra questi due polinomi, per ottenere il secondo resto parziale:
(6x³ −x² − 6) − (6x³ + 9x) = − x² − 6x − 6
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0 |
−6 |
2x² + 3 |
| −2x⁴ |
|
−3x² |
|
|
x² + 3x |
| \\ |
+6x³ |
−x² |
0x |
−6 |
|
| |
−6x³ |
|
−9x |
|
|
| \\ |
\\ |
−x² |
−9x |
−6 |
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Ancora una volta il nuovo resto parziale non ha grado minore del divisore, quindi dobbiamo ricominciare il ciclo, ripartendo da quest'ultimo resto.
1. Divisione tra i termini di grado più alto, per ottenere il terzo termine del quoziente:
−x² ∶ 2x² = −½
2. Moltiplicazione per tutto il divisore, ottenendo un terzo polinomio di confronto:
−½ · (2x² + 3) = − x² − 3⁄2
3. Sottrazione tra questi due polinomi, per ottenere il terzo resto parziale:
(− x² − 9x − 6) − (− x² − 3⁄2) = − 9x − 9⁄2
| 2x⁴ |
+6x³ |
+2x² |
0 |
−6 |
2x² + 3 |
| −2x⁴ |
|
−3x² |
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x² + 3x − ½ |
| \\ |
+6x³ |
−x² |
0x |
−6 |
|
| |
−6x³ |
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−9x |
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| \\ |
\\ |
−x² |
−9x |
−6 |
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+x² |
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+3⁄2 |
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| \\ |
\\ |
\\ |
−9x |
−9⁄2 |
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Il resto parziale ottenuto è di grado inferiore al divisore, quindi l'algoritmo è teminato.
Conclusione: Il quoziente della divisione è Q = x² + 3x − ½, il resto è R = − 9x − 9⁄2.
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Nel caso in cui il divisore D sia un binomio di primo grado, al posto di questo algoritmo si può applicare la regola di Ruffini, descritta nella sezione delle scomposizioni.
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Sintesi
Riepiloghiamo cosa sappiamo e cosa possiamo fare con i monomi:
Per quanto riguarda i polinomi:
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