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Introduzione - Raccoglimenti - Prodotti notevoli - Scomp. particolari - Ruffini

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Teoria


La regola di Ruffini è un algoritmo molto utile per ridurre di grado un polinomio fattorizzabile; è utilizzato per effettuare la divisione tra un polinomio P(x) per un binomio (x − a), usando solo i coefficienti, senza le incognite; alla base di questo algoritmo c'è il seguente teorema:

Teorema del resto
Il resto della divisione tra un qualunque polinomio P(x) e un binomio (x − a), è uguale P(a),
ossia al valore che il polinomio P(x) assume sostituendo alla x il valore a.

Questo teorema ci permette di stabilire se effettivamente un polinomio è divisibile per un binomio; infatti:

Teorema di Ruffini
Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x − a), se e solo se P(a) = 0.

Ricordiamo che se P(x) ha grado n, il polinomio quoziente Q(x) ha grado (n − 1); il resto deve avere grado minore del grado del divisore, quindi ha grado zero: è un numero.

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Regola di Ruffini


Ecco i passaggi dell'algoritmo per effettuare i calcoli.

Si crea una tabella di tre righe, nel seguente modo:

  • sulla prima riga, a partire dalla seconda cella, si scrivono i coefficienti di P(x);
  • i coefficienti devono essere scritti in ordine, da quello di grado più alto fino al termine noto;
  • se non è presente un determinato grado, si scrive uno zero in quella posizione;
  • sulla seconda riga, nella prima cella, si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno;
  • quindi se il divisore è (x − a), dobbiamo scrivere a;
  • il resto della seconda riga è utilizzato per i calcoli;
  • nella terza riga compariranno i coefficienti del risultato;

Una volta creata la tabella, si opera nel seguente modo:

  1. il primo coefficiente della prima riga si copia sotto, nella terza riga;
  2. si moltiplica questo valore per a e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
  3. si fa la somma algebrica tra questo risultato e il secondo coefficiente, e si scrive sotto, nela terza riga;
  4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto;
  5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione;
  6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x).

Infatti Q(x) ha grado (n − 1), quindi ha un termine in meno di P(x).

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Esempi



Esempio 11. Svolgiamo la divisione:

(x³ + 5x² + 2x + 6) ∶ (x + 3).

Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:

  +1 +5 +2 +6
−3        
         

1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (−3) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (−3) con il secondo coefficiente (+5), e si scrive sotto, nella terza riga;

  +1 +5 +2 +6
−3   −3    
  +1 +2    

4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (+6);

  +1 +5 +2 +6
−3   −3 −6 +12
  +1 +2 −4 +18

5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (+18);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti del polinomio quoziente Q(x)

Conclusione: Il quoziente della divisione è il polinomio di II grado:

Q(x) = x² + 2x − 4.

Il resto è R = 18.


Esempio 12. Dividiamo il polinomio

P(x) = x4 − 6x − 4

per il binomio

D(x) = x − 2.

Osservazione: mancano i termini di II e III grado, quindi nella tabella dobbiamo lasciare due spazi vuoti.

Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:

  +1 0 0 −6 −4
+2          
           

1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (+2) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (+2) con il secondo coefficiente (0), e si scrive sotto, nella terza riga;

  +1 0 0 −6 −4
+2   +2      
  +1 +2      

4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (−4);

  +1 0 0 −6 −4
+2   +2 +4 +8 +4
  +1 +2 +4 +2 0

5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (0);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x).

Conclusione: Il quoziente della divisione è il polinomio di II grado:

Q(x) = x³ + 2x² + 4x + 2.

Il resto è R = 0.

Osservazione: il polinomio P(x) è divisibile per Q(x), in quanto il resto è 0, per cui possiamo scrivere la scomposizione:

(x4 − 6x − 4)   →   (x³ + 2x² + 4x + 2) · (x − 2)


Nella sezione download è possibile scaricare un file excel (.xls) con una tabella per il calcolo automatico mediante la regola di Ruffini.

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