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Introduzione - Raccoglimenti - Prodotti notevoli - Fattorizzazioni particolari - Regola di Ruffini

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Teoremi


La regola di Ruffini è un algoritmo molto utile per ridurre di grado un polinomio fattorizzabile; è utilizzato per effettuare la divisione tra un polinomio P(x) per un binomio (x − a), usando solo i coefficienti, senza le incognite; alla base di questo algoritmo c'è il seguente teorema:

Teorema del resto
il resto della divisione tra un qualunque polinomio P(x) e un binomio (x − a), è uguale P(a),
ossia al valore che il polinomio P(x) assume sostituendo alla x il valore a.

Questo teorema ci permette di stabilire se effettivamente un polinomio è divisibile per un binomio; infatti:

Teorema di Ruffini
un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x − a), se e solo se P(a) = 0.

Ricordiamo che se P(x) ha grado n, il polimio quoziente Q(x) ha grado (n − 1); il resto deve avere grado minore del grado del divisore, quindi ha grado zero: è un numero.

Regola di Ruffini


Ecco i passaggi dell'algoritmo per effettuare i calcoli.

Si crea una tabella di tre righe, nel seguente modo:

  • sulla prima riga, a partire dalla seconda cella, si scrivono i coefficienti di P(x);
  • i coefficienti devono essere scritti in ordine, da quello di grado più alto fino al termine noto;
  • se non è presente un determinato grado, si scrive uno zero in quella posizione;
  • sulla seconda riga, nella prima cella, si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno;
  • quindi se il divisore è (x − a), dobbiamo scrivere a;
  • il resto della seconda riga è utilizzato per i calcoli;
  • nella terza riga compariranno i coefficienti del risultato;

Una volta creata la tabella, si opera nel seguente modo:

  1. il primo coefficiente della prima riga si copia sotto, nella terza riga;
  2. si moltiplica questo valore per a e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
  3. si fa la somma algebrica tra questo risultato e il secondo coefficiente, e si scrive sotto, nela terza riga;
  4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto;
  5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione;
  6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x).

Infatti Q(x) ha grado (n − 1), quindi ha un termine in meno di P(x).

Esempi di applicazione della Regola di Ruffini



Esempio 1. Dividiamo il polinomio P(x) = x ³ + 5x ² + 2x + 6 per il polinimio D(x) = x + 3.
Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:

  +1 +5 +2 +6
−3        
         

1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (−3) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (−3) con il secondo coefficiente (+5), e si scrive sotto, nella terza riga;

  +1 +5 +2 +6
−3   −3    
  +1 +2    

4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (+6);

  +1 +5 +2 +6
−3   −3 −6 +12
  +1 +2 −4 +18

5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (+18);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x) = x ² + 2x − 4.
Q(x) ha grado 2, mentre P(x) ha grado 3.


Esempio 2. Dividiamo il polinomio P(x) = x 4 − 6x + − 4 per il polinimio D(x) = x − 2.

Osservazione: mancano i termini di II e III grado, quindi nella tabella dobbiamo lasciare due spazi vuoti.
Costruiamo la tabella e iniziamo ad operare:

  +1 0 0 −6 −4
+2          
           

1. il primo coefficiente della prima riga (+1) si copia sotto, nella terza riga;
2. si moltiplica questo valore per a (+2) e il risultato si scrive nella seconda riga, sotto il secondo coefficiente;
3. si somma questo risultato (+2) con il secondo coefficiente (0), e si scrive sotto, nella terza riga;

  +1 0 0 −6 −4
+2   +2      
  +1 +2      

4. si ripetono i punti 2 e 3, lavorando nelle colonne successive, fino ad arrivare al termine noto (−4);

  +1 0 0 −6 −4
+2   +2 +4 +8 +4
  +1 +2 +4 +2 0

5. il risultato della somma algebrica nella'ultima colonna è il resto della divisione (0);
6. gli altri numeri sulla terza riga sono i coefficienti di Q(x) = x ³ + 2x ² + 4x + 2.
Osserviamo che P(x) è divisibile per Q(x), in quanto il resto è 0, per cui possiamo scrivere:
(x 4 − 6x + − 4) = (x ³ + 2x ² + 4x + 2) · (x − 2)


Nella sezione download è possibile scaricare un file con una tabella per il calcolo automatico mediante la regola di Ruffini.


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