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Differenza di quadrati
Utilizzando il prodotto notevole "somma per differenza", è possibile ottenere un binomio formato dalla differenza tra due quadrati partendo dal prodotto tra due binomi: la somma e la differenza delle rispettive basi.
Viceversa è anche possibile, partendo dalla differenza di due quadrati, scompore il polinomio in un prodotto di una somma per una differenza.
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Esempio 5. Ecco alcuni polinomi in cui possiamo riconoscere la differenza tra due quadrati.
a2 − b2 → (a + b) · (a − b)
4a2 − 9b2 → (2a + 3b) · (2a − 3b)
x2y4 − 1 → (xy2 + 1) · (xy2 − 1)
− x6 + 4 → (− x3 + 2) · (x3 + 2)
e più in generale:
3a2 − 5b2 → (√3a + √5b) · (√3a − √5b)
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Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio di I grado è un trinomio di II grado formato dalla somma dei quadrati dei due monomi più il loro doppio prodotto.
Viceversa un trinomio di II grado formato dalla somma di due quadrati può essere il risultato del quadrato di un binomio, a patto che il terzo termine corrisponda al doppio prodotto.
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Esempio 6. Ecco alcuni esempi in cui possiamo riconoscere il quadrato di un binomio.
4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2·(2a)·(3b) + (3b)2
→ (2a + 3b)2
4x2 − 8x + 4 = 4·[ x2 − 2x + 1 ]
→ 4(x − 1)2
x2 − x + ¼ = x2 − 2x(½) + (½)²
→ (x − ½)2
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Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio di I grado è un quadrinomio di III grado formato dalla somma dei cubi dei due monomi più il loro triplo prodotto per la loro somma.
Viceversa un quadrinomio di III grado formato dalla somma di due cubi può essere il risultato del cubo di un binomio, a patto che gli altri due termini corrispondano ai termini misti corretti.
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Esempio 7. Ecco alcuni esempi in cui possiamo riconoscere il cubo di un binomio.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =
= (a)3 + (b)3 + 3·(a·b)·(a + b)
→ (a + b)3
8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 =
= (2a)3 + (b)3 + 3·(2a·b)·(2a+b)
→ (2a + b)3
x3 − 3x2 + 3x − 1 =
= (x)3 + (−1)3 + 3·(-1·x)·(x − 1)
→ (x − 1)3
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Quadrato del trinomio
Il quadrato del trinomio di I grado ha come risultato un polinomio di II grado, con 6 termini: i primi 3 sono i quadrati dei singoli termini iniziali (tutti positivi), mentre gli altri 3 sono i doppi prodotti di tutte le coppie che possiamo fare con i 3 termini iniziali (il segno dipende dal prodotto).
Di conseguenza quando abbiamo un polinomio con 6 termini, possiamo controllare se sia il quadrato di un trinomio: bisogno prima individuare i 3 quadrati e calcolare i termini iniziali, quindi verificare che gli altri termini siano effettivamente i doppi prodotti dei termini iniziali calcolati in precedenza.
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Esempio 8. Ecco alcuni esempi in cui possiamo riconoscere il quadrato del trinomio.
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
→ (a + b + c)2
4x2 − 4xy + y2 + 12a2x − 6a2y + 9a4 =
= (2x)2 + 2(2x)(−y) + (−y)2 + 2(3a2)(2x) + 2(3a2)(−y) + (3a2)2
→ (2x − y + a2)2
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