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Introduzione - Raccoglimenti - Prodotti notevoli - Scomp. particolari - Ruffini

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Raccoglimento (totale) a fattor comune


Un polinomio P è la somma algebrica di uno o più monomi; se vi sono almeno due monomi, possiamo studiare M, il MCD tra tali monomi, ossia il più grande tra i monomi che dividono tutti i monomi di P; se M > 1, possiamo calcolare il polinomio quoziente Q tra P e M.
In conclusione possiamo scomporre P = M · Q

Esempio 1. Applichiamo la regola del raccoglimento a fattor comune nei seguenti polinomi.

2a + 4   →   2 · (a + 2)

4b3 + 6b2 + 8b   →   (2b) · (2b2 + 3b + 4)

− x5 − 2x3   →   (− x3) · (x2 + 2)

2a3b2 − 6ab3   →   (2ab2) · (a2 − 3b)

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Raccoglimento parziale


Possiamo raggruppare i monomi di un polinomio P (se sono almeno 4) per formare dei sotto-polinomi: P risulta essere la somma di questi sotto-polinomi P = P1 + P2.
Analizziamo se è possibile applicare un raccoglimento in tali sotto-polinomi e ottenere un polinomio-fattore F comune in questi gruppi: P1 = A · F e P2 = B · F; se tale fattore esiste, possiamo dividere P per F e calcolare il polinomio quoziente Q = A + B.
Quindi possiamo scrivere P = F · (A + B)

Esempio 2. Scomponiamo il seguente polinomio, con la regola del raccoglimento parziale.

ax + bx + ay + by =

= (ax + bx) + (ay + by) =

= x(a + b) + y(a + b) =

= (a + b) · (x + y)


Esempio 3. Scomponiamo il seguente polinomio, con la regola del raccoglimento parziale.

2a² − ab + 6ac − 3bc =

= (2a² − ab) + (6ac − 3bc) =

= a(2a − b) + 3c(2a − b) =

= (2a − b) · (a + 3c)


Esempio 4. Questo esempio è più avanzato e sfrutta anche i prodotti notevoli.

a² − a + b² − b + 2ab =

= (a² + 2ab + b2) + (− a − b) =

= (a + b)² − (a + b) =

= (a + b) · (a + b − 1)

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