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Introduzione - Proprietà pricipali - Fasci di rette

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La retta nel piano cartesiano


La retta è una figura geometrica fondamentale (vedi la retta in geometria). Nel piano cartesiano una retta è identificata da un'equazione di primo grado in x e y; la forma più generale di questa equazione è:

ax + by + c = 0

dove a, b, c sono coefficienti a valori reali. Tale forma è chiamata forma implicita per la retta.
L'insieme dei punti di una retta è dato dall'insieme di tutti e soli i punti P di coordinate (x0, y0) che verificano l'equazione della retta:

ax0 + by0 + c = 0

Esempio 1. Il punto (2,3) appartiene alla retta x − y + 1 = 0, ma non alla retta x + y + 5 = 0, poiché si verifica che:
(2) − (3) + 1 = 0 è vera;
(2) + (3) + 5 = 0 è falsa.

Di conseguenza questa regola è un buon test per vedere se un punto appartiene ad una retta, o se viceversa una retta passa per un determinato punto.

Condizione di appartenenza
Un punto appartiene ad una retta, se le sue coordinate sono soluzioni dell'equazione della retta.

Per rappresentare graficamente una retta sul piano cartesiano basta trovare due punti che appartengono alla retta.

Esempio 2. Disegnamo sul piano cartesiano la retta x − y + 1 = 0 vista prima.

retta per 2 punti
Figura 1

Abbiamo visto che passa per i punti (2, 3) e (0, 1); fissiamo questi punti sul piano e disegnamo la retta che passa per questi due punti: poiché per due punti passa una sola retta, la retta disegnata è quella di equazione:

x − y + 1 = 0

(Vedi figura 1)

Ecco le equazioni di alcune rette particolari che è bene conoscere; per verificarle è sufficiente sostituire le coordinate di alcuni punti.

  • asse x: la retta che coincide con l'asse x ha equazione y = 0;
  • asse y: la retta che coincide con l'asse y ha equazione x = 0;
  • rette orizzontali: ogni retta parrallela all'asse x ha equazione y = k, con k coefficiente reale (esempio: y = +1, y = −4);
  • rette verticali: ogni retta parrallela all'asse y ha equazione x = j, con j coefficiente reale (esempio: x = +3, x = −10);
  • rette passanti per l'origine: ogni retta passante per l'origine ha il coefficiente c nullo, quindi è della forma ax + by = 0 (esempio 2x + 3y = 0)

Forma esplicita


Ricordiamo che l'equazione generale introdotta prima è chiamata forma implicita.
Se abbiamo una retta con il coefficiente b ≠ 0, possiamo esplicitare la variabile y, ottenendo:

y = − (a ⁄ b)x − (c ⁄ b)

il termine −(a ⁄ b) lo indichiamo con la lettera m, ed è chiamato coefficiente angolare della retta: ci indica l'inclinazione della retta; il termine noto −(c ⁄ b), indicato con la lettera q, spesso è chiamato quota e identifica l'altezza della retta, ossia l'ordinata del punto d'intersezione con l'asse y.
Otteniamo così l'equazione:

y = mx + q

detta forma esplicita della retta.
Osserviamo che:

  1. nella forma esplicita è più facile trovare i punti di una retta: basta dare un qualunque valore alla x e calcolarsi il valore della y;
  2. non possiamo rappresentare tutte le rette in forma esplicita: quelle verticali hanno b = 0, quindi la variabile y non compare.

Esempio 3. Scriviamo in forma esplicita la retta di equazione: 3x − y + 4 = 0, e poi rappresentiamola sul piano cartesiano.

retta in forma esplicita
Figura 2

Per farla diventare in forma esplicita, spostiamo i termini in modo opportuno:   − y = − 3x − 4

Cambiando i segni otteniamo:

y = 3x + 4

il suo coefficiente angolare è 3 (vedi figura 2) e interseca l'asse y nel punto (0, 4).

Il coefficiente angolare ha le seguenti proprietà:

  • vale 0 per le rette orizzontali;
  • non si può calcolare per le rette verticali;
  • è positivo se la retta “cresce”, andando da sinistra a destra;
  • è negativo se la retta “decresce”, andando da sinistra a destra;
  • sono uguali in due rette parallele
  • sono diversi in due rette incidenti
  • sono anti-reciproci in due rette perpendicolari

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