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I punti - Le rette - Proprietà pricipali - Fasci di rette

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La retta nel piano cartesiano


La retta è una figura geometrica fondamentale (vedi la retta in geometria). Nel piano cartesiano una retta è identificata da un'equazione di primo grado in x e y; la forma più generale di questa equazione è:

ax + by + c = 0

dove a, b, c sono coefficienti a valori reali. Tale forma è chiamata forma implicita per la retta.
L'insieme dei punti di una retta è dato dall'insieme di tutti e soli i punti P di coordinate (x0, y0) che verificano l'equazione della retta:

ax0 + by0 + c = 0

Di conseguenza questa regola è un buon test per vedere se un punto appartiene ad una retta, o se viceversa una retta passa per un determinato punto.

Condizione di appartenenza
Un punto appartiene ad una retta, se le sue coordinate sono soluzioni dell'equazione della retta.


Esempio 2. Verifichiamo se il punto A (2; 3) appartiene alle rette di equazione: x − y + 1 = 0, ed x + y + 5 = 0.

Svolgimento. Applichiamo la condizione di appartenenza, sostituendo le coodinate di A nelle due equazioni, una alla volta, e controlliamo se risultano vere:

  • (2) − (3) + 1 = 0 è vera;
  • (2) + (3) + 5 = 0 è falsa.

Conclusione: il punto A appartiene alla retta x − y + 1 = 0, ma non alla retta x + y + 5 = 0.

La condizione di appartenenza è molto utile anche al contrario: per rappresentare graficamente una retta sul piano cartesiano basta trovare (almeno) due punti che appartengono ad essa.

Esempio 3. Disegnamo sul piano cartesiano la retta x − y + 1 = 0.

Svolgimento. Assegnamo alcuni valori arbitrari alla x all'interno dell'equazione e calcoliamo quando devono valere le corrispondenti y.

  • Se x = 0   →   (0) − y + 1 = 0   →   y = 1
  • Se x = 2   →   (2) − y + 1 = 0   →   y = 3
  • Se x = 3   →   (3) − y + 1 = 0   →   y = 4
retta per 2 punti
Figura 1

Di conseguenza tale retta passa per i punti: A (0; 1), B (2; 3) e C (3; 4) che sono tutti allineati; fissiamo questi punti sul piano e disegnamo la retta che passa per questi punti.

Conclusione: poiché i punti sono allineati, la retta disegnata rappresenta graficamente l'equazione iniziale, come disegnato in figura 1.

Osserazione: per disegnare una retta è sufficiente trovare due punti; tuttavia è utile trovarne di più, per verificare che siano allineati, evitando o correggendo eventuali errori di calcolo.

Ecco le equazioni di alcune rette particolari che è bene conoscere; per verificarle è sufficiente sostituire le coordinate di alcuni punti.

  • asse x: la retta che coincide con l'asse x ha equazione y = 0;
  • asse y: la retta che coincide con l'asse y ha equazione x = 0;
  • rette orizzontali: ogni retta parrallela all'asse x ha equazione y = k, con k coefficiente reale
      esempi: y = +1, y = −4
  • rette verticali: ogni retta parrallela all'asse y ha equazione x = j, con j coefficiente reale
      esempi: x = +3, x = −10;
  • rette passanti per l'origine: ogni retta passante per l'origine ha il coefficiente c nullo, quindi è della forma ax + by = 0
      esempio: 2x + 3y = 0.

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Forma esplicita


Ricordiamo che l'equazione generale introdotta prima è chiamata forma implicita.
Se abbiamo una retta con il coefficiente b ≠ 0, possiamo esplicitare la variabile y, ottenendo:

y = −
a
b
x −
c
b

il termine −(a ⁄ b) lo indichiamo con la lettera m, ed è chiamato coefficiente angolare della retta: ci indica l'inclinazione della retta; il termine noto −(c ⁄ b), indicato con la lettera q, spesso è chiamato quota e identifica l'altezza della retta, ossia l'ordinata del punto d'intersezione con l'asse y.
Otteniamo così l'equazione:

y = mx + q

detta forma esplicita della retta.
Osserviamo che:

  1. nella forma esplicita è molto più facile trovare i punti di una retta: basta dare un qualunque valore alla x e calcolarsi il valore della y, senza risolvere un'equazione;
  2. non possiamo rappresentare tutte le rette in forma esplicita: quelle verticali hanno b = 0, (la variabile y non compare) quindi non possono esser rappresentate in forma esplicita.

Esempio 4. Scriviamo in forma esplicita la retta di equazione: 3x − y + 4 = 0, e poi rappresentiamola sul piano cartesiano.

Svolgimento. Per farla diventare in forma esplicita, spostiamo i termini in modo opportuno:   − y = − 3x − 4

Cambiando i segni otteniamo:

y = 3x + 4

Per rappresentare questa equazione dobbiamo trovare alcuni punti: assegnamo dei valori alla x all'interno dell'equazione in forma esplicita e calcoliamo le corrispondenti y.

  • Se x = −1   →   y = − 3·(−1) + 4   →   y = 1
  • Se x = 0   →   y = − 3·(0) + 4   →   y = 4
  • Se x = 1   →   y = − 3·(1) + 4   →   y = 7
  • Se x = 2   →   y = − 3·(2) + 4   →   y = 10
retta in forma esplicita
Figura 2

I punti trovati sono tutti allineati, lungo la direzione della nostra retta.

Dalla forma esplicita inoltre ricaviamo che il coefficiente angolare (m) è 3: le y aumentano di tre unità alla volta rispetto alle x.
La quota (q) è 4, infatti la retta interseca l'asse y nel punto (0, 4).

In figura 2 è disegnata la retta passante per i punti trovati.

Il coefficiente angolare ha le seguenti proprietà:

  • vale 0 per le rette orizzontali;
  • non si può calcolare per le rette verticali;
  • è positivo se la retta “cresce”, andando da sinistra a destra;
  • è negativo se la retta “decresce”, andando da sinistra a destra;
  • sono uguali in due rette parallele
  • sono diversi in due rette incidenti
  • sono anti-reciproci in due rette perpendicolari

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