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Introduzione - Proprietà pricipali - Fasci di rette

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I fasci di rette


Un fascio di rette è un insieme di rette del piano aventi tutte una stessa proprietà.

Un fascio di rette è individuato da un'equazione parametrica (attenzione: non un'equazione in forma parametrica, ma una normale equazione con uno o più parametri); ad ogni valore del parametro (o dei parametri) corrisponde una determinata retta del fascio.

L'equazione implicita di un fascio ℱ con parametro k è del tipo:

ℱ(k) :   a(k) x + b(k) y + c(k) = 0

ad indicare che i coefficienti a, b, c possono dipendere dal parametro k.
In forma esplicita si ha:

ℱ(k) :   y = m(k) x + q(k)

con analoghe considerazioni.

I fasci individuati da un solo parametro sono di due tipi:

1. Fascio improprio, se il coefficiente angolare non dipende dal parametro; graficamente corrisponde all'insieme di tutte le rette aventi una determinata direzione.
Tra tutte queste rette, quella passante per l'origine è chiamata generatrice del fascio, e spesso corrisponde alla retta ottenuta per k = 0.

Esempio 6. Il fascio di equazione

y = 2x + k

è un fascio improprio, formato da tutte le rette parallele alla retta generatrice:

y = 2x

2. Fascio proprio, se il coefficiente angolare dipende dal parametro; graficamente corrisponde all'insieme di tutte le rette passanti per un determinato punto; tale punto è detto centro del fascio.

Un fascio proprio possiede due rette generatrici: un'equazione formata dai termini dipendenti dal parametro (ottenuta per k → ∞), e un'altra formata dai termini restanti (ottenuta per k = 0).

Esempio 7. Il fascio di equazione:

(k + 2)x + (2k − 1)y − 5k = 0

si può scrivere così:

k(x + 2y − 5) + (2x − y) = 0

e le due generatrici sono:

x + 2y − 5 = 0   e   2x − y = 0

Risolvendo il sistema tra queste due equazioni otteniamo la soluzione (x = 1; y = 2), di conseguenza le due rette si intersecano nel punto di coordinate (1; 2), che non potrà esser altri che il centro del fascio.


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