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I fasci di rette
Un fascio di rette è un insieme di rette del piano aventi tutte una stessa proprietà.
Un fascio di rette è individuato da un'equazione parametrica (attenzione: non un'equazione in forma parametrica, ma una normale equazione con uno o più parametri); ad ogni valore del parametro (o dei parametri) corrisponde una determinata retta del fascio.
L'equazione implicita di un fascio ℱ con parametro k è del tipo:
ad indicare che i coefficienti a, b, c possono dipendere dal parametro k.
In forma esplicita si ha:
con analoghe considerazioni.
I fasci individuati da un solo parametro sono di due tipi:
1. Fascio improprio , se il coefficiente angolare non dipende dal parametro; graficamente corrisponde all'insieme di tutte le rette aventi una determinata direzione.
Tra tutte queste rette, quella passante per l'origine è chiamata generatrice del fascio, e spesso corrisponde alla retta ottenuta per k = 0.
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Esempio 7. Studiamo il fascio di equazione:
y = 2x + k
Svolgimento. Questo è un fascio improprio, per verificarlo è sufficiente assegnare alcuni valori a k, e vedere che i coefficienti angolari restano sempre uguali.
Questo fascio è formato da tutte le rette parallele alla retta generatrice:
y = 2x
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2. Fascio proprio , se il coefficiente angolare dipende dal parametro; graficamente corrisponde all'insieme di tutte le rette passanti per un determinato punto; tale punto è detto centro del fascio .
Un fascio proprio possiede due rette generatrici : un'equazione formata dai termini dipendenti dal parametro (ottenuta per k → ∞), e un'altra formata dai termini restanti (ottenuta per k = 0).
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Esempio 8. Studiamo il fascio di equazione:
(k + 2)x + (2k − 1)y − 5k = 0
Svolgimento. Facciamo i calcoli e raggruppiamo i termini con il k. L'equazione si può scrivere così:
k(x + 2y − 5) + (2x − y) = 0
e le due generatrici sono:
x + 2y − 5 = 0 e 2x − y = 0
Risolvendo il sistema tra queste due equazioni otteniamo la soluzione:
x = 1 ∧ y = 2
di conseguenza le due rette si intersecano nel punto di coordinate (1; 2), che non potrà esser altri che il centro del fascio.
Conclusione: questo fascio è proprio e rappresenta tutte le rette passanti per il punto (1; 2).
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