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I punti - Le rette - Formule - Fasci di rette

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Descriviamo ora alcune delle formule più comuni che coinvolgono le equazioni delle rette.

Retta passante per un punto


Sia P di coordinate (xP, yP) un punto del piano; allora possiamo scrivere l'equazione di una retta passante per P in questo modo:

Retta passante per un punto

a(x − xP) + b(y − yP) = 0

Dove i coefficienti a e b sono parametri che variano in base alla direzione della retta.

Se vogliamo diminuire il numero dei parametri, possiamo usare la seguente formula:

y − yP = m (x − xP)

x = xP

Dove m è il coefficiente angolare della generica retta.

Osserviamo che questa seconda formula è costituita dall'unione di due equazioni: la prima riprende l'equazione in forma esplicita, e indica una generica retta obliqua o orizzontale passante per P; la seconda rappresenta la retta verticale passante per P; questo perchè, come abbiamo visto, le rette verticali non hanno coefficiente angolare e non possono esser scritte in forma esplicita.

Da queste formule, possiamo determinare le equazioni di rette passanti per un punto, aventi determinate direzioni.

♦ Retta orizzontale ♦

Nel caso la retta passante per P sia parallela all'asse x, allora l'equazione è della forma:

y = yP

♦ Retta verticale ♦

Nel caso invece la retta passante per P sia parallela all'asse y, allora l'equazione è, come abbiamo visto, della forma:

x = xP

♦ Retta parallela ad una retta obliqua ♦

Se vogliamo determinare l'equazione di una retta passante per P e parallela ad un'altra retta obliqua, è sufficiente inserire il coefficiente angolare uguale a quello della retta nota, all'interno della formula:

y − yP = m|| (x − xP)

dove m|| = m

♦ Retta perpendicolare ad una retta obliqua ♦

Se vogliamo infine determinare l'equazione di una retta passante per P e perpendicolare ad un'altra retta obliqua, è necessario inserire il coefficiente angolare antireciproco rispetto a quello della retta nota:

y − yP = m(x − xP)

dove m = − 1 / m

Esempio 9. Determiniamo, tra tutte le rette che passano per il punto D = (5; −1), quella parallela e quella perpendicolare alla retta 𝓇 di equazione:

y = 3x + 7

Svolgimento. Iniziamo scrivendo la generica retta passante per D:

y − yD = m (x − xD)

y + 1 = m (x −5)

Manca solo trovare il coefficiente angolare m da inserire nell'equazione.
Per la retta parallela, il coefficiente angolare deve essere lo stesso di quello di 𝓇, quindi m = 3.

y + 1 = 3 (x − 5)

y + 1 = 3x − 15

y = 3x − 14

Per la retta perpendicolare invece, il coefficiente angolare deve essere l'antireciproco di quello di 𝓇, quindi m = − ⅓.

y + 1 = − ⅓ (x − 5)

3 · (y + 1) = 3 · (− ⅓)(x − 5)

3y + 3 = − 1 · (x − 5)

3y + 3 = − x + 5

x + 3y − 2 = 0.

Per comodità questa seconda equazione è stata scritta in forma in implicita, mentre la prima è in forma esplicita.

Conclusione: la retta parallela ad 𝓇 ha equazione y = 3x − 14, mentre la retta perpendicolare ha equazione x + 3y − 2 = 0.

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Retta passante per due punti


Siano A(xA, yA) e B(xB, yB) due punti del piano; allora possiamo determinare la retta passante per A e B in questo modo:

Se A e B sono allineati orizzontalmente, ossia hanno la stessa ordinata, la retta passante per A e B ha equazione:

y = yA

Se al contrario A e B sono allineati verticalmente, ossia hanno la stessa ascissa, la retta passante per A e B ha equazione:

x = xA

Se infine A e B hanno diverse ascisse e diverse ordinate, allora la retta passante per A e B ha equazione:

Retta per due punti

y − yA
yB − yA
  =  
x − xA
xB − xA

Osservazione: quest'ultima formula viene fuori partendo dalla formula della retta passante per un punto, vista in precedenza (nel nostro caso il punto è A):

y − yA = m (x − xA)

e mettendo come coefficiente angolare quello tra i punti A e B:

m   =  
yB − yA
xB − xA

Unendo le due formule si ottiene la formula:

y − yA =
yB − yA
xB − xA
(x − xA)

Che è equivalente alla formula della retta passante per due punti.

Esempio 10. Determiniamo, l'equazione della retta passente per i punti A = (− 3; 5) e B = (7; 1).

Svolgimento. Applichiamo la formula, facendo attenzione a cambiare solo i segni di uno dei due punti (in questo caso A), e svolgiamo i calcoli:

y − 5
1 − 5
  =  
x + 3
7 + 3
y − 5
− 4
  =  
x + 3
10

Moltiplichiamo a sinistra e a destra per 20, per togliere i denomincatori:

− 5 (y − 5) = 2 (x + 3)

− 5y + 25 = 2x + 6

− 5y + 25 − 2x − 6 = 0

5y − 25 + 2x + 6 = 0

2x + 5y − 19 = 0

Conclusione: la retta passante per A e B ha equazione:

2x + 5y − 19 = 0

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Distanza di un punto da una retta


Consideriamo un punto P(x0, y0) e una retta r di equazione generica:

ax + by + c = 0

La distanza di P da r si calcola con la formula:

Distanza di un punto da una retta

d =
| ax0 + by0 + c |
a² + b²

Nel caso la retta sia scritta in forma esplicita:

y = mx + q

si può usare la formula equivalente:

d =
| y0 − mx0 − q |
1 + m²

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Altre formule


♦ Intersezione tra due rette ♦

Due rette incidenti (non parallele) hanno coefficiente angolare diverso e possiedono un unico punto in comune, chiamato punto di intersezione. Per determinare le coordinate del punto d'intersezione tra le due rette si imposta e si risolve il sistema di I grado formato dalle equazioni delle due rette.

♦ Asse di un segmento ♦

Consideriamo un segmento avente per estremi i punti A(xA, yA) e B(xB, yB); per determinare l'equazione dell'asse di simmetria del segmento, si imposta e si semplifica la seguente equazione:

2x (xB − xA) + 2y (yB − yA) = xB² − xA² + yB² − yA²

♦ Bisettrice tra due rette ♦

Consideriamo due rette incidenti, di equazioni:

r₁: y = m₁x + q₁   e   r₂: y = m₂x + q₂

con m₂ ≠ m₁; per determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati tra le due rette, si imposta e si semplifica la seguente equazione:

y − m₁x − q₁
1 + m₁²
  =   ±
y − m₂x − q₂
1 + m₂²

Osserviamo che, svolgendo i calcoli, si ottengono sempre due rette perpendicolari tra loro (come del resto deve accadere, per le proprietà della geometria).

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