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Introduzione - Proprietà pricipali - Fasci di rette

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Forma parametrica


Oltre che in forma esplicita ed implicite, una retta può esser messa anche in forma parametrica.
Tale forma consiste nell'utilizzare un parametro ausiliario ed esplicitare entrambe le variabili in funzione di tale parametro (ottenendo un sistema di 2 equazioni in 3 incognite):

x = 𝒻 (t)
y = ℊ (t)

essendo appunto t un parametro ausiliario a valori reali. Tale forma può sembrare meno manegevole della forma esplicita, ma con essa si può rappresentare ogni retta del piano, ed entrambe le variabili sono esplicitate, quindi facili da calcolare.
Inoltre la forma parametrica, esplicitando entrambe le variabili, mette in evidenza quelle che sono le coordinate dei punti appartenenti alla retta. Vediamo qualche esempio:

Esempio 4. Vediamo per prima cosa alcune rette particolari.

Retta Equazione Forma param.
asse x y = 0x = t
y = 0
asse y x = 0x = 0
y = t
retta orizzontale y = 3x = t
y = 3
retta verticale x = 5x = 5
y = t
bisettrice del I e III quadrante y = xx = t
y = t
bisettrice del II e IV quadrante y = − xx = t
y = − t
retta per l'origine y = mxx = t
y = mt

Esempio 5. Vediamo ora alcune rette generiche.

Equazione Forma param.
y = 3x + 4x = t
y = 3t + 4
y − x = 8x = t
y = t + 8
2x = 6 − yx = t
y = 6 − 2t
2x + 5y − 4 = 0x = 2 − 5
y = 2t

Come si nota dalla tabella, il passaggio dalla forma esplicita a quella parametrica è immediato; un po' più difficoltoso può essere il passaggio dalla forma implicita a quella parametrica; il passaggio dalla forma parametrica ad una delle altre forme consiste nell'applicare una sostituzione, come in un normale sistema.
Ricordiamo infine che l'equazione di una retta, in ogni sua forma, non è unica: possiamo ottenere la stessa retta utilizzando equazioni differenti, anche della stessa forma.

Formule


♦   Retta generica passante per un punto P(x0, y0):

r :   a(x − x0) + b(y − y0) = 0
(forma implicita)

r :   y − y0 = m (x − x0)
(forma esplicita)

♦   Retta generica passante per un punto P(x0, y0), perpendicolare alla retta y = mx + q:

p :   y − y0 = (− 1 ⁄ m) (x − x0)

♦   Retta passante per due punti A(xA, yA) e B(xB, yB) non allineati orizzontalmente né verticalmente:

r :   (y − yA) ⁄ (yB − yA) = (x − xA) ⁄ (xB − xA)

♦   Punto d'intersezione tra 2 rette:

si risolve il sistema di I grado formato dalle equazioni delle due rette

♦   Distanza di un punto P(x0, y0) da una retta r di equazione generica (implicita ed esplicita):

|ax0+by0+c|
—————
a² + b²

(forma implicita)

|y0−mx0−q|
—————
1 + m²  

(forma esplicita)

♦   Asse del segmento avente per estremi i punti A(xA, yA) e B(xB, yB):

a :   2x(xB − xA) + 2y(yB − yA) + xB² − xA² + yB² − yA²

♦   Bisettrici degli angoli formati dalle rette r: y = mx + q ed s: y = nx + p, con m ≠ n:

b :   (y − mx − q)√1 + n² = ± (y − nx − p)√1 + m²


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