Sito del prof Caroselli - I punti e le rette

I PUNTI E LE RETTE

I punti - Le rette - Formule - Fasci di rette

CONTENUTO DELLA PAGINA
Retta passante per un punto
Retta passante per due punti
Distanza di un punto da una retta
Altre formule

Descriviamo ora alcune delle formule più comuni che coinvolgono le equazioni delle rette.

Retta passante per un punto

Sia P di coordinate (x_P, y_P) un punto del piano; allora possiamo scrivere l'equazione di una retta passante per P in questo modo:

Retta passante per un punto

a(x − x_P) + b(y − y_P) = 0

Dove i coefficienti a e b sono parametri che variano in base alla direzione della retta.

Se vogliamo diminuire il numero dei parametri, possiamo usare la seguente formula:

y − y_P = m (x − x_P)
∨
x = x_P

Dove m è il coefficiente angolare della generica retta.

Osserviamo che questa seconda formula è costituita dall'unione di due equazioni: la prima riprende l'equazione in forma esplicita, e indica una generica retta obliqua o orizzontale passante per P; la seconda rappresenta la retta verticale passante per P; questo perché, come abbiamo visto, le rette verticali non hanno coefficiente angolare e non possono esser scritte in forma esplicita.

Da queste formule, possiamo determinare le equazioni di rette passanti per un punto, aventi determinate direzioni.

♦ Retta orizzontale ♦

Nel caso la retta passante per P sia parallela all'asse x, allora l'equazione è della forma:

y = y_P

♦ Retta verticale ♦

Nel caso invece la retta passante per P sia parallela all'asse y, allora l'equazione è, come abbiamo visto, della forma:

x = x_P

♦ Retta parallela ad una retta obliqua ♦

Se vogliamo determinare l'equazione di una retta passante per P e parallela ad un'altra retta obliqua, è sufficiente inserire il coefficiente angolare uguale a quello della retta nota, all'interno della formula:

y − y_P = m_|| (x − x_P)

dove m_|| = m

♦ Retta perpendicolare ad una retta obliqua ♦

Se vogliamo infine determinare l'equazione di una retta passante per P e perpendicolare ad un'altra retta obliqua, è necessario inserire il coefficiente angolare antireciproco rispetto a quello della retta nota:

y − y_P = m_⊥(x − x_P)

dove m_⊥ = − 1 / m

Esempio 9. Determiniamo, tra tutte le rette che passano per il punto D = (5; −1), quella parallela e quella perpendicolare alla retta 𝓇 di equazione:

y = 3x + 7

Svolgimento. Iniziamo scrivendo la generica retta passante per D:

y − y_D = m (x − x_D)

y + 1 = m (x −5)

Manca solo trovare il coefficiente angolare m da inserire nell'equazione.
Per la retta parallela, il coefficiente angolare deve essere lo stesso di quello di 𝓇, quindi m = 3.

y + 1 = 3 (x − 5)

y + 1 = 3x − 15

y = 3x − 14

Per la retta perpendicolare invece, il coefficiente angolare deve essere l'antireciproco di quello di 𝓇, quindi m = − ⅓.

y + 1 = − ⅓ (x − 5)

3 · (y + 1) = 3 · (− ⅓)(x − 5)

3y + 3 = − 1 · (x − 5)

3y + 3 = − x + 5

x + 3y − 2 = 0.

Per comodità questa seconda equazione è stata scritta in forma in implicita, mentre la prima è in forma esplicita.

Conclusione: la retta parallela ad 𝓇 ha equazione y = 3x − 14, mentre la retta perpendicolare ha equazione x + 3y − 2 = 0.

^
Torna su

Retta passante per due punti

Siano A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) due punti del piano; allora possiamo determinare la retta passante per A e B in questo modo:

Se A e B sono allineati orizzontalmente, ossia hanno la stessa ordinata, la retta passante per A e B ha equazione:

y = y_A

Se al contrario A e B sono allineati verticalmente, ossia hanno la stessa ascissa, la retta passante per A e B ha equazione:

x = x_A

Se infine A e B hanno diverse ascisse e diverse ordinate, allora la retta passante per A e B ha equazione:

Retta per due punti

y − y_A y_B − y_A

x − x_A x_B − x_A

Osservazione: quest'ultima formula viene fuori partendo dalla formula della retta passante per un punto, vista in precedenza (nel nostro caso il punto è A):

y − y_A = m (x − x_A)

e mettendo come coefficiente angolare quello tra i punti A e B:

m =	y_B − y_A x_B − x_A

Unendo le due formule si ottiene la formula:

y − y_A =

y_B − y_A x_B − x_A

(x − x_A)

Che è equivalente alla formula della retta passante per due punti.

Esempio 10. Determiniamo, l'equazione della retta passente per i punti A = (− 3; 5) e B = (7; 1).

Svolgimento. Applichiamo la formula, facendo attenzione a cambiare solo i segni di uno dei due punti (in questo caso A), e svolgiamo i calcoli:

y − 5 1 − 5	=	x + 3 7 + 3
y − 5 − 4	=	x + 3 10

Moltiplichiamo a sinistra e a destra per 20, per togliere i denomincatori:

− 5 (y − 5) = 2 (x + 3)

− 5y + 25 = 2x + 6

− 5y + 25 − 2x − 6 = 0

5y − 25 + 2x + 6 = 0

2x + 5y − 19 = 0

Conclusione: la retta passante per A e B ha equazione:

2x + 5y − 19 = 0

^
Torna su

Distanza di un punto da una retta

Consideriamo un punto P(x₀, y₀) e una retta r di equazione generica:

ax + by + c = 0

La distanza di P da r si calcola con la formula:

Distanza di un punto da una retta

d =	\| ax₀ + by₀ + c \| √ a² + b²

Nel caso la retta sia scritta in forma esplicita:

y = mx + q

si può usare la formula equivalente:

d =	\| y₀ − mx₀ − q \| √ 1 + m²

^
Torna su

Altre formule

♦ Intersezione tra due rette ♦

Due rette incidenti (non parallele) hanno coefficiente angolare diverso e possiedono un unico punto in comune, chiamato punto di intersezione. Per determinare le coordinate del punto d'intersezione tra le due rette si imposta e si risolve il sistema di I grado formato dalle equazioni delle due rette.

♦ Asse di un segmento ♦

Consideriamo un segmento avente per estremi i punti A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B); per determinare l'equazione dell'asse di simmetria del segmento, si imposta e si semplifica la seguente equazione:

2x (x_B − x_A) + 2y (y_B − y_A) = x_B² − x_A² + y_B² − y_A²

♦ Bisettrice tra due rette ♦

Consideriamo due rette incidenti, di equazioni:

r₁: y = m₁x + q₁ e r₂: y = m₂x + q₂

con m₂ ≠ m₁; per determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati tra le due rette, si imposta e si semplifica la seguente equazione:

y − m₁x − q₁ √ 1 + m₁²

= ±

y − m₂x − q₂ √ 1 + m₂²

Osserviamo che, svolgendo i calcoli, si ottengono sempre due rette perpendicolari tra loro (come del resto deve accadere, per le proprietà della geometria).

^
Torna su

<<< Precedente - Successivo >>>

Condizioni di utilizzo

Contatti

Created by Stefano Caroselli

Mappa