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Caso generale
Ogni equazione polinomiale possiede al massimo tante soluzioni reali quanto il grado dell'equazione.
Ad esempio un'equazione di terzo grado può avere al massimo 3 soluzioni, una di quinto grado al massimo 5, e così via…
Ricordiamoci inoltre quello che dice il Terorema di Ruffini riguardo le scomposizioni: un polinomio che si annulla per un numero α assegnato all'incognita x, è divisibile per il binomio (x − α).
Tale regola vale anche al contrario:
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Un polinomio possiede tanti zeri quanti i polinomi di primo grado in cui è scomponibile.
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Di conseguenza per trovare le soluzioni di una equazione, ossia gli zeri del polinomio, è sufficiente scomporre il polinomio in fattori: applicando la legge di annullamento del prodotto, da ogni fattore possiamo ottenere un'equazione di grado inferiore rispetto a quella iniziale: tanti fattori portano ad altrettante equazioni; se i fattori sono di primo o secondo grado, possiamo studiarli come equazioni rispettivamente di primo o secondo grado.
In particolare, abbiamo visto come le equazioni di secondo grado siano legate alle scomposizioni in realzione al discriminante; in generale un'equazione di secondo grado avente Δ ≥ 0 può esser risolta scomponendo in fattori il trinomio, con le opportune regole di scomposizione.
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Esempi
Vediamo alcuni esempi di equazioni di grado vario, risolvibili mediante scomposizioni.
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Esempio 7. Risolviamo tramite scomposizioni l'equazione di II grado:
x² − 4 x + 3 = 0
Il polinomio si può scomporre tramite la regola del trinomio speciale, diventando:
(x − 1)(x − 3) = 0
Studiamo separatamente i due fattori, in due distinte equazioni di primo grado:
x − 1 = 0
x − 3 = 0
Risolvendo tali equazioni, troviamo le due soluzioni dell'equazione iniziale:
x1 = 1 ∨ x2 = 3
(il simbolo ∨ si legge "oppure" ed ha un ruolo di disgiunzione inclusiva)
Conclusione. Tale equazione è quindi determinata e possiede due distinte soluzioni: 1 e 3.
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Esempio 8. Risolviamo tramite scomposizioni l'equazione di III grado:
3 x³ + 12 x² + 12 x = 0
Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale e successivamente si ottiene un quadrato di un binomio, diventando:
3x (x² + 4x + 4) = 0
3x (x + 2)² = 0
Il coefficiente 3 può esser trascurato: essendo una costante moltiplicativa diversa da zero non può portarci ad alcuna soluzione; il fattore x ci fornisce automaticamente la soluzione 0.
Studiamo quindi il binomio (x + 2), senza l'esponente (l'esponente ci dice che tale soluzione eventualmente va contata due volte), tramite un'equazione di primo grado:
x + 2 = 0
x = − 2
Conclusione. Tale equazione è determinata e possiede 3 soluzioni, di cui due coincidenti: 0 è una soluzione singola mentre 2 è una soluzione doppia.
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Esempio 9. Risolviamo tramite scomposizioni l'equazione di IV grado:
2x4 + 6 x³ − 8 x² − 24 x = 0
Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale:
2x (x³ + 3 x² − 4 x − 12) = 0
Possiamo scomporre ulteriormente il polinonio con la regola del raccoglimento parziale:
2x [(x³ + 3 x²) − (4 x + 12)] = 0
2x [x² (x + 3) − 4 (x + 3)] = 0
2x (x + 3) (x² − 4) = 0
Infine possiamo applicare la regola della differenza di due quadrati, trasformando l'ultimo fattore in una somma per una differenza:
2x (x + 3) (x + 2) (x − 2) = 0
Abbiamo ottenuto 4 diversi fattori! Studiamo ogni fattore separatamente tramite un'equazione di primo grado:
2 x = 0
x + 3 = 0
x + 2 = 0
x − 2 = 0
Risolvendo tali equazioni, troviamo le 4 soluzioni dell'equazione iniziale:
x1 = 0
x2 = −3
x3 = −2
x4 = 2
Conclusione. Tale equazione è determinata e possiede 4 distinte soluzioni: −3, −2, 0, 2.
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