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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque - Fratte - Moduli - Irrazionali

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Regola generale


Ogni equazione polinomiale possiede al massimo tante soluzioni reali quanto il grado dell'equazione.
Ad esempio un'equazione di terzo grado può avere al massimo 3 soluzioni, una di quinto grado al massimo 5, e così via...

Ricordiamoci inoltre quello che dice il Terorema di Ruffini riguardo le scomposizioni: un polinomio che si annulla per un numero α assegnato all'incognita x, è divisibile per il binomio (x − α).
Tale regola vale anche al contrario:

Un polinomio possiede tanti zeri quanti i polinomi di primo grado in cui è scomponibile.

Di conseguenza per trovare le soluzioni di una equazione, ossia gli zeri del polinomio, è sufficiente scomporre il polinomio in fattori: applicando la legge di annullamento del prodotto, da ogni fattore possiamo ottenere un'equazione di grado inferiore rispetto a quella iniziale: tanti fattori portano ad altrettante equazioni; se i fattori sono di primo o secondo grado, possiamo studiarli come equazioni rispettivamente di primo o secondo grado.

In particolare, abbiamo visto come le equazioni di secondo grado siano legate alle scomposizioni in realzione al discriminante; in generale un'equazione di secondo grado avente Δ ≥ 0 pò esser risolta scomponendo in fattori il trinomio, con le opportune regole di scomposizione.

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Esempi


Vediamo alcuni esempi di equazioni di grado vario, risolvibili mediante scomposizioni.

Esempio 7.

Consiederiamo l'equazione di II grado:

x² − 4 x + 3 = 0

Il polinomio si può scomporre tramite la regola del trinomio speciale, diventando:

(x − 1)(x − 3) = 0

Studiamo separatamente i due fattori, in due distinte equazioni di primo grado:

x − 1 = 0

x − 3 = 0

Risolvendo tali equazioni, troviamo le due soluzioni dell'equazione iniziale:

x1 = 1

x2 = 3

Tale equazione è quindi determinata e possiede due distinte soluzioni: 1 e 3.


Esempio 8.

Consiederiamo l'equazione di III grado:

3 x³ + 12 x² + 12 x = 0

Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale e successivamente si ottiene un quadrato di un binomio, diventando:

3x (x + 2)² = 0

Il coefficiente 3 può esser trascurato: essendo una costante moltiplicativa diversa da zero non può portarci ad alcuna soluzione; il fattore x ci fornisce automaticamente la soluzione 0.
Studiamo quindi il binomio (x + 2), senza l'esponente (l'esponente ci dice che tale soluzione eventualmente va contata due volte), tramite un'equazione di primo grado:

x + 2 = 0

x = − 2

Tale equazione è quindi determinata e possiede 3 soluzioni, di cui due coincidenti: 0 è una soluzione singola mentre 2 è una soluzione doppia.


Esempio 9.

Consiederiamo l'equazione di IV grado:

2x4 + 6 x³ − 8 x² − 24 x = 0

Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale:

2x (x³ + 3 x² − 4 x − 12) = 0

Possiamo scomporre ulteriormente il polinonio con la regola del raccoglimento parziale:

2x [(x³ + 3 x²) − (4 x + 12)] = 0

2x [x² (x + 3) − 4 (x + 3)] = 0

2x (x + 3) (x² − 4) = 0

Infine possiamo applicare la regola della differenza di due quadrati, trasformando l'ultimo fattore in una somma per una differenza:

2x (x + 3) (x + 2) (x − 2) = 0

Abbiamo ottenuto 4 diversi fattori! Studiamo ogni fattore separatamente tramite un'equazione di primo grado:

2 x = 0

x + 3 = 0

x + 2 = 0

x − 2 = 0

Risolvendo tali equazioni, troviamo le 4 soluzioni dell'equazione iniziale:

x1 = 0

x2 = −3

x3 = −2

x4 = 2

Tale equazione è quindi determinata e possiede 4 distinte soluzioni: −3, −2, 0, 2.

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