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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque

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Regola generale


Ogni equazione polinomiale possiede al massimo tante soluzioni reali quanto il grado dell'equazione.
Ad esempio un'equazione di terzo grado può avere al massimo 3 soluzioni, una di quinto grado al massimo 5, e così via...

Ricordiamoci inoltre quello che dice il Terorema di Ruffini riguardo le scomposizioni: un polinomio che si annulla per un numero α assegnato all'incognita x, è divisibile per il binomio (x − α).
Tale regola vale anche al contrario:

Un polinomio possiede tanti zeri quanti i polinomi di primo grado in cui è scomponibile.

Di conseguenza per trovare le soluzioni di una equazione, ossia gli zeri del polinomio, è sufficiente scomporre il polinomio in fattori: applicando la legge di annullamento del prodotto, da ogni fattore possiamo ottenere un'equazione di grado inferiore rispetto a quella iniziale: tanti fattori portano ad altrettante equazioni; se i fattori sono di primo o secondo grado, possiamo studiarli come equazioni rispettivamente di primo o secondo grado.

In particolare, abbiamo visto come le equazioni di secondo grado siano legate alle scomposizioni in realzione al discriminante; in generale un'equazione di secondo grado avente Δ ≥ 0 pò esser risolta scomponendo in fattori il trinomio, con le opportune regole di scomposizione.

Esempi


Vediamo alcuni esempi di equazioni di grado vario, risolvibili mediante scomposizioni.

Esempio 6.

Consiederiamo l'equazione di II grado:

x² − 4 x + 3 = 0

Il polinomio si può scomporre tramite la regola del trinomio speciale, diventando:

(x − 1)(x − 3) = 0

Studiamo separatamente i due fattori, in due distinte equazioni di primo grado:

x − 1 = 0

x − 3 = 0

Risolvendo tali equazioni, troviamo le due soluzioni dell'equazione iniziale:

x1 = 1

x2 = 3

Tale equazione è quindi determinata e possiede due distinte soluzioni: 1 e 3.


Esempio 7.

Consiederiamo l'equazione di III grado:

3 x³ + 12 x² + 12 x = 0

Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale e successivamente si ottiene un quadrato di un binomio, diventando:

3x (x + 2)² = 0

Il coefficiente 3 può esser trascurato: essendo una costante moltiplicativa diversa da zero non può portarci ad alcuna soluzione; il fattore x ci fornisce automaticamente la soluzione 0; studiamo quindi il binomio (x + 2), senza l'esponente (l'esponente ci dice che tale soluzione eventualmente va contata due volte), tramite un'equazione di primo grado:

x + 2 = 0

x = − 2

Tale equazione è quindi determinata e possiede 3 soluzioni, di cui due coincidenti: 0 è una soluzione singola mentre 2 è una soluzione doppia.


Esempio 8.

Consiederiamo l'equazione di IV grado:

2x4 + 6 x³ − 8 x² − 24 x = 0

Il polinomio si può scomporre tramite un raccoglimento totale:

2x (x³ + 3 x² − 4 x − 12) = 0

Possiamo scomporre ulteriormente il polinonio con la regola del raccoglimento parziale:

2x [(x³ + 3 x²) − (4 x + 12)] = 0

2x [x² (x + 3) − 4 (x + 3)] = 0

2x (x + 3) (x² − 4) = 0

Infine possiamo applicare la regola della differenza di due quadrati, trasformando l'ultimo fattore in una somma per una differenza:

2x (x + 3) (x + 2) (x − 2) = 0

Abbiamo ottenuto 4 diversi fattori! Studiamo ogni fattore separatamente tramite un'equazione di primo grado:

2 x = 0

x + 3 = 0

x + 2 = 0

x − 2 = 0

Risolvendo tali equazioni, troviamo le 4 soluzioni dell'equazione iniziale:

x1 = 0

x2 = −3

x3 = −2

x4 = 2

Tale equazione è quindi determinata e possiede 4 distinte soluzioni: −3, −2, 0, 2.


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