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Introduzione - I grado - II grado - Gradi sup. - Fratte - Moduli - Irrazionali

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Regola generale per le equazioni di 2° grado.


Un'equazione di II grado è un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il secondo.
Un'equazione di II grado è in forma normale se sono stati portati tutti i termini al primo membro (lasciando quindi 0 al secondo membro) e sono stati svolti tutti i calcoli algebrici possibili.
Normalmente un'equazione in forma normale possiede quindi solamente tre termini: uno di II grado, uno di I grado e un termine noto; ossia del tipo:

a x² + b x + c = 0

Essendo a, b, c numeri reali qualunque, con la condizione che a ≠ 0, per garantirci che l'equazione sia effettivamente di II grado.
Un'equazione in forma normale (con a ≠ 0) non può esser indeterminata: può esser solo determinata o impossibile; nel caso sia determinata, può avere al massimo 2 soluzioni distinte.

Il discriminante di una equazione di II grado è il valore della seguente espressione:

Δ = b² − 4ac

Dove a, b, c sono i 3 numeri dell'equazione in forma normale.
Il discriminante è di fondamentale importanza, poiché indica quante soluzioni ha l'equazione:

♦ Primo caso:   Δ > 0 ♦

In questo caso l'equazione ha esattamente 2 soluzioni (reali) distinte, denominate comunemente x1 e x2.
Per trovari tali soluzioni si può usare la formula risolutiva per le equazioni di II grado:

x1;2   =  
− b ± √Δ
2a

Il ± presente nella formula ci porta a considerare due casi separati, da cui otteniamo le due diverse soluzioni dell'equazione.

Esempio 5. Risolviamo l'equazione:

2 x² + 5 x + 3 = 0

In questo esempio l'equazione è già in forma normale; i coefficienti valgono:

a = 2,   b = 5,   c = 3

Calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:

Δ = (5)² − 4(2)(3)

Δ = 25 − 24

Δ = 1

Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione ha due soluzioni distinte; per trovare tali soluzioni, applichiamo la formula risolutiva:

x1;2   =  
− 5 ± √1
4
  =  
− 5 ± 1
4

Studiamo ora i due casi separati del ±, per calcolare separatamente x1 e x2:

x1 =
− 5 − 1
4
=
− 6
4
=
− 3
2
x2 =
− 5 + 1
4
=
− 4
4
=   −1

Conclusione. L'equazione è determinata, possiede due distinte soluzioni che sono i numeri −3/2 e −1.

Osservazione: nel caso in cui Δ > 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre in 2 fattori distinti nel seguente modo:

a x² + b x + c
=
a (x − x1) (x − x2)

♦ Secondo caso:   Δ = 0 ♦

In questo caso l'equazione ha ha 2 soluzioni (reali) coincidenti, quindi un solo zero, denominato comunemente x1.

x1   =  
− b
2a

Tale formula è una semplificazione della formula risolutiva, in quanto non compare la radice del discriminante (il discriminante vale infatti zero).

Esempio 6. Risolviamo l'equazione:

x² − 6 x + 9 = 0

In questo esempio a = 1, b = −6 e c = 9; calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:

Δ = (−6)² − 4(1)(9)

Δ = 36 − 36

Δ = 0

Il discriminante è nullo, di conseguenza l'equazione ha un'unico zero (avendo due soluzioni coincidenti); applichiamo quindi la formula:

x1   =  
− (−6)
2
  =  
6
2
  =   3

Conclusione. L'equazione è determinata, possiede un unico zero, il numero 3.

Osservazione: nel caso in cui Δ = 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre nel quadrato di un binomio nel seguente modo:

a x² + b x + c = a (x − x1

♦ Terzo caso:   Δ < 0 ♦

L'equazione non ha soluzioni reali, in quanto la radice di un numero negativo non è un numero reale, quindi è impossibile nell'insieme R.
Osservazione: nel caso in cui Δ < 0 il polinomio dell'equazione in forma normale non si può scomporre in fattori, è quindi un polinomio irriducibile.

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Casi particolari


♦ Equazione completa con b pari.

Nel caso in cui l'equazione in forma normale abbia il numero b pari, si può utilizzare una variante della formula risolutiva, la formula ridotta:

x1;2   =  
− h ± √ h² − ac
a

Essendo h = b ⁄ 2 e l'espressione sotto la radice h² − ac = Δ ⁄ 4.
Tale formula non è obbligatoria ma, se ci si abitua ad usarla, risolvere alcune equazioni di II grado diventerà molto più semplice e veloce.

♦ Equazione incompleta pura "a x² + c = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata pura se b = 0, ossia se non compare il termine con la x di primo grado.
Tale equazione è automaticamente impossibile se i numeri a e c hanno lo stesso segno; al contrario se hanno segno diverso le soluzioni dell'equazione si trovano da una versione estremamente semplificata della formula risolutiva:

x1;2 = ± √ −c ⁄ a

♦ Equazione incompleta spuria "a x² + b x = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata spuria se c = 0, ossia se non compare il termine noto dell'equazione.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni si trovano raccogliendo la x a fattor comune e applicando la legge di annullamento del prodotto:

x1 = 0

x2 = − b ⁄ a

♦ Equazione incompleta monomia "a x² = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata monomia se b = c = 0, ossia se non compaiono i termini noto e di primo grado.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a 0.

x1 = 0

x2 = 0

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