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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque

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Caso generale


Un'equazione di II grado è un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il secondo.
Un'equazione di II grado è in forma normale se sono stati portati tutti i termini al primo membro (lasciando quindi 0 al secondo membro) e sono stati svolti tutti i calcoli algebrici possibili.
Normalmente un'equazione in forma normale possiede quindi solamente tre termini: uno di II grado, uno di I grado e un termine noto; ossia del tipo:

a x² + b x + c = 0

Essendo a, b, c numeri reali qualunque, con la condizione che a ≠ 0, per garantirci che l'equazione sia effettivamente di II grado.
Un'equazione in forma normale non può esser indeterminata: può esser solo determinata o impossibile; nel caso sia determinata, può avere al massimo 2 soluzioni distinte.

Il discriminante di una equazione di II grado è il valore della seguente espressione:

Δ = b² − 4ac

Dove a, b, c sono i 3 numeri dell'equazione in forma normale.
Il discriminante è di fondamentale importanza, poiché indica quante soluzioni ha l'equazione:

Primo caso: Δ > 0

In questo caso l'equazione ha esattamente 2 soluzioni (reali) distinte, denominate comunemente x1 e x2.
Per trovari tali soluzioni si può usare la formula risolutiva per le equazioni di II grado:

x1;2 = ( − b ± √Δ) / 2a

Il ± presente nella formula ci porta a considerare due casi separati, da cui otteniamo le due diverse soluzioni dell'equazione.

Esempio 4.

Consiederiamo l'equazione in forma normale:

2 x² + 5 x + 3 = 0

In questo esempio a = 2, b = 5 e c = 3; calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:

Δ = (5)² − 4(2)(3)

Δ = 25 − 24

Δ = 1

Il discriminante è positivo, di conseguenza l'equazione ha due soluzioni distinte; per trovare tali soluzioni, applichiamo la formula risolutiva:

x1;2 = ( − 5 ± √1) / 4

x1;2 = ( − 5 ± 1) / 4

Studiamo ora i due casi separati del ±, per calcolare separatamente x1 e x2:

x1 = ( − 5 − 1) / 4 = − 6 / 4 = − 3 / 2

x2 = ( − 5 + 1) / 4 = − 4 / 4 = − 1

In conclusione, l'equazione è determinata, possiede due distinte soluzioni che sono i numeri −1 e −3/2.

Osservazione: nel caso in cui Δ > 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre in 2 fattori distinti nel seguente modo:

a x² + b x + c = a (x − x1) (x − x2)

Secondo caso: Δ = 0

In questo caso l'equazione ha ha 2 soluzioni (reali) coincidenti, quindi un solo zero, denominato comunemente x1.

x1 = − b / 2a

Tale formula è una semplificazione della formula risolutiva, in quanto non compare la radice del discriminante (il discriminante vale infatti zero).

Esempio 5.

Consiederiamo l'equazione in forma normale:

x² − 6 x + 9 = 0

In questo esempio a = 1, b = −6 e c = 9; calcoliamo il discriminante, per stabilire quante soluzioni abbia:

Δ = (−6)² − 4(1)(9)

Δ = 36 − 36

Δ = 0

Il discriminante è nullo, di conseguenza l'equazione ha un'unico zero (avendo due soluzioni coincidenti); applichiamo quindi la formula:

x1 = ( − (−6) / 2

x1 = 6 / 2

x1 =3

In conclusione, l'equazione è determinata, possiede un unico zero, il numero 3.

Osservazione: nel caso in cui Δ = 0 il polinomio dell'equazione in forma normale si può scomporre nel quadrato di un binomio nel seguente modo:

a x² + b x + c = a (x − x1

Terzo caso: Δ < 0

L'equazione non ha soluzioni reali, in quanto la radice di un numero negativo non è un numero reale, quindi è impossibile nell'insieme R.
Osservazione: nel caso in cui Δ < 0 il polinomio dell'equazione in forma normale non si può scomporre in fattori, è quindi un polinomio irriducibile.

Casi particolari


Equazione completa con b pari.

Nel caso in cui l'equazione in forma normale abbia il numero b pari, si può utilizzare una variante della formula risolutiva, la formula ridotta:

x1;2 = ( − h ± √h² − ac) / a

Essendo h = b/2 e l'espressione sotto la radice h² − ac = Δ/4.
Tale formula non è obbligatoria ma, se ci si abitua ad usarla, risolvere alcune equazioni di II grado diventerà molto più semplice e veloce.

Equazione incompleta pura "a x² + c = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata pura se b = 0, ossia se non compare il termine con la x di primo grado.
Tale equazione è automaticamente impossibile se i numeri a e c hanno lo stesso segno; al contrario se hanno segno diverso le soluzioni dell'equazione si trovano da una versione estremamente semplificata della formula risolutiva:

x1;2 = ± √− c/a

Equazione incompleta spuria "a x² + b x = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata spuria se c = 0, ossia se non compare il termine noto dell'equazione.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni si trovano raccogliendo la x a fattor comune e applicando la legge di annullamento del prodotto:

x1 = 0

x2 = − b/a

Equazione incompleta monomia "a x² = 0".

Un equazione di II grado in forma normale è chiamata monomia se b = c = 0, ossia se non compaiono i termini noto e di primo grado.
Tale equazione è sempre determinata e le soluzioni sono sempre coincidenti e uguali a 0.

x1 = 0

x2 = 0


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