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Introduzione - Sostituzione - Confronto - Riduzione - Cramer - Disequazioni

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Attenzione: può accadere che alcuni simboli non siano visualizzati correttamente, leggi le info alla sezione compatibilità.

Il metodo di riduzione


Il metodo di riduzione (spesso chiamato anche metodo di addizione e sottrazione) può esser applicato ogni volta che una delle due incognite compare in entrambe le equazioni con lo stesso coefficiente, o comunque con un coefficiente multiplo o sottomultiplo; tale metodo consente di risolvere il sistema in modo molto veloce, operando direttamente tra le due equazioni.

Descrizione dei passaggi:

  1. Semplificazione. Per prima cosa occorre svolgere evenutali calcoli presenti nelle due equazioni; per procedere il sistema deve esser ridotto in forma normale: in tal caso è facile analizzare se in entrambe le equazioni è presente una stessa incognita con coefficienti uguali oppure opposti.
  2. Aggiustamento. Nel caso in cui l'incognita individuata non abbia coefficienti uguali o opposti, occorre calcolare il m.c.m. tra i coefficienti e moltiplicare entrambe le equazioni (applicando il II principio) per il fattore necessario ad uguagliare in valore assoluto i due coefficienti.
  3. 1ª Riduzione. Operiamo in colonna tra le due equazioni, ciascun termine con il suo corrispondente, scrivendo il risultato sotto al sistema, in una nuova equazione:
    ▪ se i coefficienti individuati sono uguali, sottraiamo termine a termine;
    ▪ se i coefficienti individuati sono opposti, addizzioniamo termine a termine;
    in ogni caso l'incognita scelta si annullerà e avremo ottenuto una semplicissima equazione con una sola incognita.
  4. 1ª Risoluzione. Risolviamo l'equazione costruita sotto al sistema:
    ▪ se l'equazione è indeterminata, allora il sistema è indeterminato, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile, e lo studio termina qui;
    ▪ se l'equazione è determinata, otteniamo la soluzione per l'incognita presente, e lo studio va avanti.
  5. 2ª Riduzione. Se il sistema è determinato, possiamo provare ad annullare anche l'altra incognita presente, tornando al sistema iniziale e svolgendo operazioni analoghe. In caso sia troppo macchinoso, possiamo sempre concludere sostituendo il valore della prima incognita in una delle due equazioni, per trovare l'incognita mancante.
  6. 2ª Risoluzione. Svolgendo i calcoli nell'equazione ottenuta, determiniamo anche il valore dell'altra incognita e il sistema è risolto.

Il passo di aggiustamento è quello che può sembrare più difficile e laborioso, ma con qualche esempio sarà più chiaro.

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Esempi



Esempio 6.

Risolviamo il sistema qui di seguito, già messo in forma normale:

⎧ 5x + 3y = −1

⎩ 5x − y = 7

L'incognita x possiede lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni; sottraiamo quindi termine a termine:

⎧   5x   + 3y = −1

⎩ −(5x) −(− y) = −7

⇒   ⁄ ⁄   + 4y = −8

L'equazione ha come soluzione y = −2; per trovare l'altra incognita, ripartiamo da sistema iniziale: questa volta però dobbiamo annullare la y, che non ha lo stesso coefficiente; occorre prima aggiustare la seconda equazione, moltiplicando tutti i termini per 3.

⎧ 5x + 3y = −1

⎩ 15x − 3y = 21

Ora l'incognita y possiede coefficienti opposti, quindi dobbiamo addizionare termine a termine:

⎧   5x   + 3y   = −1

⎩ +15x + (−3y) = +21

⇒   20x +   ⁄ ⁄   = +20

Questa seconda equazione ha come soluzione x = 1. Il sistema è quindi determinato e possiede come soluzione la coppia (1; −2).


Esempio 7.

Studiamo questo sistema, anch'esso in forma normale:

⎧ 2x + 5y = 6

⎩ 3x − y = 9

Nessuna delle due incognite possiede coefficienti uguali oppure opposti, di conseguenza, per poter applicare il metodo di riduzione, dobbiamo comunque aggiustare le equazioni.
Partiamo dalla x: il m.c.m. tra i coefficienti 2 e 3 è 6: la prima equazione dovraà esser moltiplicata per 3 mentre la seconda per 2.

⎧ 6x + 15y = 18

⎩ 6x − 2y = 18

L'incognita x possiede lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni; sottraiamo quindi termine a termine:

⎧   6x + 15y   = 18

⎩ −6x − (−2y) = −18

⇒ ⁄ ⁄   + 17y   = 0

L'equazione ha come soluzione y = 0.
Per trovare l'altra incognita, ripartiamo da sistema iniziale: questa volta però dobbiamo annullare la y, che possiede come coefficienti 5 e − 1; in questo caso è sufficiente moltiplicare la seconda equazione per 5.

⎧ 6x + 15y = 18

⎩ 15x − 5y = 45

Poiché l'incognita y possiede coefficienti opposti, dobbiamo addizionare termine a termine:

⎧ 6x + 15y = 18

⎩ 15x − 5y = 45

⇒ 21 + ⁄ ⁄   = 63

Quest'ultima equazione ha come soluzione x = 3. Il sistema è quindi determinato e possiede come soluzione la coppia (3; 0).

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