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Introduzione - Prime operazioni - Vettori componenti - Prodotti tra vettori

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Cosa sono i vettori?


Un vettore è un ente matematico, utilizzato per rappresentare oggetti o grandezze fisiche.

In matematica possiamo far corrispondere un vettore ad un insieme di numeri ordinati, racchiusi all'interno di parentesi tonde, ad esempio (12, 5, -2, 0, 10) è un vettore; un altro esempio sono i punti del piano cartesiano, rappresentati da due numeri: il primo numero rappresenta le ascisse (x), il secondo le ordinate (y); analogamente nello spazio i punti sono rappresentati con un vettore di 3 numeri: (x, y, z).
In generale i numeri che costituiscono un vettore sono chiamate le componenti cartesiane o coordinate cartesiane del vettore. La quantità di coordinate presenti indica la dimensione del vettore: un vettore con 5 coordinate è un vettore a 5 dimensioni.

Nel piano cartesiano, possiamo collegare l'origine O (0, 0) con un punto qualunque tramite una freccia o, per meglio dire, un segmento orientato: tale freccia è la rappresentazione grafica del vettore corrispondente al punto di arrivo; ad esempio la freccia che collega l'origine al punto A (3, 5) rappresenta il vettore (3, 5).
Generalizzando, possiamo collegare tra loro due punti qualunque del piano per mezzo di una freccia: se il punto iniziale non è l'origine, il vettore non corrisponde al punto finale, ma è la differenza tra le coordinate dei singoli punti (quello finale meno quello iniziale). Quindi;

Un vettore corrisponde ad un segmento orientato, ad una freccia. Tale freccia possiede una coda, ossia il punto di partenza, detto punto d'applicazione e una punta, ossia il punto d'arrivo.
Un vettore è dotato di 3 carattestiche:

  1. Il modulo o intensità: indica la lunghezza del vettore, e corrisponde alla distanza tra il punto iniziale e il punto finale (in genere il modulo di un vettore v si indica con |v|).
  2. La direzione: indica la retta su cui si trova un vettore; se due vettori posseggono la stessa direzione allora sono paralleli.
  3. Il verso: indica la punta della freccia, ossia quale dei due punti è quello iniziale e quale è quello finale.

Esempio 1.

Studiamo il vettore in figura 1:

esempio di vettore
Figura 1

Dati:
Punto d'applicazione: A (2, 1)
Punto d'arrivo: B (6, -2).

Soluzione: Per calcolare il vettore, dobbiamo fare la differenza tra le rispettive coordinate, in ordine:
xB – xA = 6 – 2 = 4
yB – yA = (–2) – 1 = –3

Il vettore u in figura è il vettore (4, -3)

Calcoliamo, aiutandoci con le formule di geometria analitica, le carattestiche del vettore:

Il modulo è la distanza tra A e B; si ottiene applicando la formula della distanza tra due punti: svolgendo i calcoli, il modulo risulta 5.

La direnzione corrisponde alla retta r; possiamo determinarne l'equazione applicando la formula della retta passante per due punti: svolgendo i calcoli, la direzione è la retta 3x + 4y – 10 = 0.

Il verso è quello della A a B.

Due vettori che hanno identiche carattestiche, ma diverso punto d'applicazione sono equipollenti: tale relazione è una relazione d'equivalenza.
Ogni vettore può esser trasformato in un vettore equipollente, tramite una semplice traslazione.
Riprendendo l'esempio precedente, il vettore che parte dall'origine e arriva al punto (4, -3) è equipollente al vettore AB.

Un versore è un vettore avente modulo unitario: ad esempio i vettori (0, 0, 1) e (3/5, 4/5) sono dei versori.

Vettori in fisica


In fisica i vettori sono molto utili per descrivere alcune grandezze, in quando permettono di fornire più informazioni di un semplice valore numerico.
Le grandezze fisiche si dividono in scalari e vettoriali:

  • le grandezze scalari sono quelle che possono esser descritte da un semplice valore numerico, quindi con una scala di valori opportuni; ad esempio tempo, massa, lavoro, energia.
  • le grandezze vettoriali sono quelle che possono esser descritte da più informazioni, quindi per mezzo di vettori; ad esempio spostamento, velocità, accelerazione, forza.

Possiamo dire che, se i vettori sono insiemi ordinati di più numeri, gli scalari sono i numeri semplici.


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