Un vettore è un ente matematico, utilizzato per rappresentare e descrivere in modo più completo determinate grandezze, in particolarmodo grandezze fisiche.
Un vettore si indica con una lettera scritta in grassetto (v) o con una lettera con sopra una freccia (v⃗).
In matematica possiamo far corrispondere un vettore ad un insieme di numeri ordinati, racchiusi all'interno di parentesi tonde, ad esempio (12, 5, -2, 0, 10) è un vettore; un altro esempio sono i punti del piano cartesiano, rappresentati da due numeri: il primo numero rappresenta le ascisse (x), il secondo le ordinate (y); analogamente nello spazio i punti sono rappresentati con un vettore di 3 numeri: (x, y, z).
In generale i numeri che costituiscono un vettore sono chiamate le componenti cartesiane o coordinate cartesiane del vettore. La quantità di coordinate presenti indica la dimensione del vettore: un vettore con 5 coordinate è un vettore a 5 dimensioni.
Nel piano cartesiano, possiamo collegare l'origine O (0, 0) con un punto qualunque tramite una freccia o, per meglio dire, un segmento orientato:
Una freccia è la rappresentazione grafica di un vettore.
Una freccia che parte nell'origine, corrisponde al vettore che ha come coordinate quelle del punto di arrivo; ad esempio la freccia che collega l'origine al punto A (3, 5) rappresenta il vettore (3, 5).
Generalizzando, possiamo collegare tra loro due punti qualunque del piano per mezzo di una freccia: se il punto iniziale non è l'origine, il vettore non corrisponde al punto finale, ma è la differenza tra le coordinate dei singoli punti (quello finale meno quello iniziale). Quindi possiamo definire formalmente;
Un vettore (v) corrisponde ad un insieme di numeri ordinati; gradicamente si rappresenta con una freccia, un segmento orientato AB⃗.
Tale freccia possiede:
una coda, ossia il punto di partenza A, detto punto d'applicazione; se non specificato, il pundo di applicazione è l'origine
una punta, ossia il punto d'arrivo B.
Un vettore è dotato di 3 carattestiche:
Il modulo o intensità: è il numero che indica la lunghezza del vettore, e corrisponde alla distanza tra il punto iniziale e il punto finale – in genere il modulo del vettore v si indica con |v|.
La direzione: è la retta su cui si trova il vettore.
Il verso: indica la punta della freccia, ossia quale dei due punti è quello iniziale e quale è quello finale.
Esempio 1.Studiamo il vettore rappresentato in figura 1.
Figura 1
Dati:
Punto d'applicazione: A (2, 1)
Punto d'arrivo: B (6, -2).
Soluzione: per calcolare il vettore, dobbiamo fare la differenza tra le rispettive coordinate, in ordine:
xB − xA = 6 − 2 = 4
yB − yA = (−2) − 1 = −3
Il vettore u in figura è il vettore (4, -3)
Calcoliamo, aiutandoci con le formule di geometria analitica, le carattestiche del vettore:
Il modulo è la distanza tra A e B; si ottiene applicando la formula della distanza tra due punti (la trova qui): svolgendo i calcoli, il modulo risulta 5.
La direnzione corrisponde alla retta r; possiamo determinarne l'equazione applicando la formula della retta passante per due punti (la trova qui): svolgendo i calcoli, la direzione è la retta 3x + 4y − 10 = 0.
Il verso è quello da A a B.
Due vettori che hanno stesse carattestiche, ma diverso punto d'applicazione sono equipollenti: quindi due vettori equipollenti si trovano quindi su due rette parallele: ogni vettore può esser trasformato in un vettore equipollente, tramite una semplice traslazione.
Riprendendo l'esempio precedente, il vettore che parte dall'origine e arriva al punto (4, -3) è equipollente al vettore AB.
La relazione di equipollenza è una relazione d'equivalenza.
Un versore è un vettore avente modulo unitario: ad esempio i vettori (0, 0, 1) e (3/5, 4/5) sono dei versori; l'utilizzo di versori è utile nel caso non ci interessi studiare il modulo, ma solo la direzione e il verso.
Nel piano (due dimensioni) ci sono due versori canonici, sono quelli sugli assi cartesiani:
versore v₁, indicato con i = (1, 0)
versore v₂, indicato con j = (0, 1)
In generale in uno spazio a n-dimensioni, i versori canonici sono quelli formati da n componenti, una sola che vale 1 mentre tutte le altre valgono 0; ogni versore ha la componente unitaria in una posizione diversa dagli altri; ad esempio in 4 dimensioni abbiamo:
In fisica i vettori sono molto utili per descrivere alcune grandezze, in quando permettono di fornire più informazioni di un semplice valore numerico.
Le grandezze fisiche si dividono in scalari e vettoriali:
le grandezze scalari sono quelle che possono esser descritte da un semplice valore numerico, quindi con una scala di valori opportuni; ad esempio tempo, massa, lavoro, energia.
le grandezze vettoriali sono quelle che possono esser descritte da più informazioni, quindi per mezzo di vettori; ad esempio spostamento, velocità, accelerazione, forza.
