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Introduzione - Prime operazioni - Vettori componenti - Prodotti tra vettori

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Esistono due tipi diversi di operazioni tra vettori, chiamate entrambe "prodotto"; ma si differenziano per i calcoli che comportano e per il risultato che si ottiene.

Il prodotto scalare


Da non confondere con quello che abbiamo visto in precedenza (il prodotto tra un vettore e uno scalare), il prodotto scalare è un numero che corrisponde alla somma algebrica dei prodotti tra le coordinate corrispondenti dei due vettori:
Ad esempio il prodotto scalare tra (4, 0, -2) e (2, -1, 3) vale 8 + 0 + (-6) = 2

Da un punto di vista più formale, è così definito:

Il prodotto scalare tra due vettori è un numero dato dal prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

In formule: dati due vettori u e v che formano un algolo α tra loro, il prodotto scalare si calcola:

u · v   =   |u| · |v| · cos(α)

La particolarità di questa operazione è che fornisce un risultato numerico, non un vettore (da qui il nome prodotto scalare). Osserviamo inoltre che non fa differenza se consideriamo l'angolo concavo o convesso tra i due vettori, in quanto il coseno fornisce identici risultati; per convenzione consiederiamo angoli convessi.
Vediamo alcuni casi particolari:

  • se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso verso (α = 0°) allora u · v = |u| · |v| (diventa un prodotto normale);
  • se i vettori sono paralleli e hanno lo verso opposto (α = 180°) allora u · v = – |u| · |v| (diventa un prodotto normale ma negativo);
  • se i vettori sono perpendicolari (α = 90°) allora u · v = 0, qualunque sia il modulo dei due vettori; questo ci porta a:

Se il prodotto scalare tra due vettori non nulli vale zero,
allora i due vettori saranno necessariamente perpendicolari.

Osserviamo infine che possiamo calcolare il prodotto scalare tra due vettori anche utilizzando i vettori componenti:

u · v   =   |u| · |v|||   =   |u||| · |v|


Esempio 2.

Calcoliamo il prodotto scalare tra il vettore a (2, 4, 6) e il vettore b (-3, 0, 3).

Soluzione: Avendo le coordinate cartesiane dei due vettori, ma non conoscendo i moduli e l'angolo tra loro, conviene usare il metodo iniziale, ossia sommiamo i prodotti tra le coordinate:

a · b = 2 · (-3) + 4 · 0 + 6 · 3

a · b = -6 + 0 + 18

a · b = 12


Esempio 3.

Calcoliamo il prodotto scalare tra due vettori c d, lunghi rispettivamente 2 e 5, sapendo che formano tra essi un angolo di 45°.

Soluzione: In questo caso possiamo usare la definizione:

a · b = 2 · 5 · cos (45°)

a · b = 10 + 0,70

a · b = 7

Il prodotto vettoriale


Questo tipo di prodotto è più articolato e complesso del precedente.

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore avente:

  • per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell'angolo tra essi compreso
  • per direzione quella perpendicolare al piano su cui si trovano i due vettori
  • per verso quello indicato dalla regola della mano destra.

In formule: dati due vettori u e v che formano un algolo α tra loro, il modulo del prodotto vettoriale si calcola:

u × v   =   |u| · |v| · sen(α)

Chiariamo alcuni aspetti: questa operazione fornisce un risultato vettoriale, a differenza del prodotto precedente; inoltre la direzione di questo vettore è fuori dal piano, per cui ha senso studiare il prodotto vettoriale solo se ci troviamo nello spazio a 3 dimensioni. Viceversa, nel piano, possiamo solo studiare il modulo di tale vettore.
È importante l'ordine con cui i due vettori compaiono: u × v è diverso da v × u; questa puntualizzazione ci serve per spiegare la regola citata nella definizione:

Regola della mano destra

Il verso del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale è quello che ha il dito medio della mano destra, quando il primo vettore corrisponde al pollice e il secondo all'indice (figura 8).

Regola della mano destra
Figura 8

Un altro modo più intuitivo di capire il verso giusto è il seguente:
♦   se per ruotare il vettore u verso il v dobbiamo muoverci in senso anti-orario, il prodotto vettoriale ha verso uscente dal piano (quindi dal foglio);
♦   se per ruotare il vettore u verso il v dobbiamo muoverci in senso orario, il prodotto vettoriale ha verso entrante nel piano (quindi nel foglio).

Vediamo alcuni casi particolari:

  • se i vettori sono paralleli (α = 0° o 180°) allora il modulo di u × v vale 0, qualunque verso abbiano;
  • se i vettori sono perpendicolari (α = 90°) allora il modulo di u × v corrisponde a |u| · |v| (diventa un prodotto normale).

Osserviamo infine che anche in questo caso possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori utilizzando i vettori componenti:

u × v   =   |u| · |v|   =   |u| · |v|


Esempio 4.

Calcoliamo il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori u v, lunghi rispettivamente 4 e 3, sapendo che formano tra essi un angolo di 60°.

Soluzione: Applichiamo la definizione:

u × v = 4 · 3 · sin(60°)

u × v = 12 · 0,87

u × v = 10,44


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