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Assiomi - Teoria degli Insiemi - Formulario

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Concetto di insieme


Il concetti di insieme è un concetto primitivo, non possiede quindi una vera e propria definizione (vedi: Assiomi).
Un insieme, generalmente denominato con una lettera maiuscola (A, B, ...), è una collezione di elementi, che lo caratterizzano univocamente: insiemi che hanno gli stessi elementi coincidono.

L'insieme vuoto (∅) è l'insieme che non contiene alcun elemento, mentre un insieme che contiene tutti gli elementi presi in considerazione è chiamato insieme universo e si indica con la U. L'insieme U dipende quindi dal tipo di elementi che stiamo studiando.

La cardinalità di un insieme A è il numero degli elementi che appartengono ad A e si indica con card (A) o con |A|.
Ad esempio card (∅) = 0.

Un insieme A è un sottoinsieme di un insieme B, e si scrive A ⊆ B oppure B ⊇ A, se tutti gli elementi di A appartengono anche a B. Quindi card (A) ≤ card (B) e inoltre:

  • ∅ è un sottoinsieme banale di ogni insieme;
  • ogni insieme è un sottoinsieme di U.

Operazioni tra insiemi


Intersezione. Due insiemi A e B possono avere alcuni elementi in comune; l'insieme costituito dagli elementi apparteneti sia ad A che a B è chiamato intersezione tra A e B, e si indica con A ∩ B.
L'intersezione tra due insiemi è un sottoinsieme dei due insiemi.

Unione (inclusiva). L'insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A o anche a B è chiamato unione tra A e B e si indica con A ∪ B. Di conseguenza sia A che B sono sottoinsiemi di A ∪ B.
Osservazione: l'insieme unione non sempre è la somma dei due insiemi, in quanto gli elementi in comune vanno considerati una volta sola (non ci sono ripetizioni).

Se A ⊆ B allora: A ∩ B = A, e A ∪ B = B

Differenza (semplice). L'insieme costituito dagli elementi appartenenti ad A che però non appartengono a B è chiamato differenza tra A e B oppure complementare reltivo di B in A e si indica con A∖B.
La differenza tra due insiemi non è commutativa: A∖B in genere è diverso da B∖A.
Inoltre A∖B è un sottoinsieme di A.

Differenza simmetrica. L'insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A oppure a B, ma non ad entrambi è chiamato differenza simmetrica o unione esclusiva, tra A e B e si indica con A Δ B.
La differenza simmetrica tra due insiemi è commutativa, e corrisponde alla differenza semplice tra l'unione e l'intersezione tra i due insiemi.

Complementare (assoluto). Il complementare di un insieme A è l'insieme formato da tutti gli elementi che non appartengono ad A, e si indica con Ac, con ∁(A) o con Ā.
Il complementare corrisponde quindi a Ac = U \ A

Esempio 1. Consideriamo gli insiemi:
A = insieme dei primi 8 numeri primi
B = insieme di tutti i naturali più piccoli di 10

Possiamo scriverli quindi come:
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A possiede 10 elementi, per cui card (A) = 8, mentre card (B) = 9 come è facile verificare contando.

Intersezione: A ∩ B = { 2, 3, 5, 7 } ossia tutti i numeri primi minori di 10.
card (A ∩ B) = 4.

Unione: A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 17, 19 } ossia i primi 8 numeri primi, insieme con i numeri naturali minori di 10.
card (A ∪ B) = 13.

Differenza: A∖B = { 11, 13, 17, 19 } ossia i primi 8 numeri primi, meno i numeri minori di 10.
card (A∖B) = 4.

Differenza: B∖A = { 1, 4, 6, 8, 9 } ossia i naturali minori di 10 che non siano primi.
card (B∖A) = 5.

Differenza simmetrica: A Δ B = { 1, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 17, 19 } ossia i numeri naturali che siano minori di 10 ma non primi, oppure tra i primi 8 posti ma maggiori di 10.
card (A ∪ B) = 9.

Nella sezione download sono presenti due file che spiegano in maniera schematica le operazioni fra insiemi.


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