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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque - Fratte

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Definizioni e svolgimento


Ricordiamo che anche una disquazione, come una equazione, può esser intera, oppure fratta.

Una disequazione è detta fratta se compare un'incognita al denominatore; nel caso non vi siano denominatori, o vi siano solo denominatori numerici, la disequazione è detta intera.

La risoluzione di una disequazione fratta si svolge in modo simile all'equazione, ma bisogna ricordarsi che i denominatori non possono esser eliminati, in quanto possono far parte della soluzione.
I punti forndamentali da seguire sono:

  • si scompongono in fattori i denominatori presenti, al fine di semplificare le moltiplicazioni o di calcolare il m.c.m. nelle somme;
  • si pongono le condizioni di esistenza (c.e.): ciascun fattore ottenuto nei vari denominatori deve esser diverso da zero;
  • si svolgono le operazioni tra le frazioni, rispettando evenutali parentesi: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni;
  • si portano tutte le frazioni in un unico membro, lasciando lo zero dall'altra parte, quindi si svolgono le ultime addizioni e sottrazioni tra le frazioni;
  • una volta ottenuta un'unica frazione, si svolge lo studio del segno di ogni fattore del numeratore e del denominatore separatamente e ponendolo maggiore di zero (indipendentemente dal segno della disequazione);
  • si compila la tabella dello studio del segno della frazione, in maniera analoga a quanto visto con le disequazioni di grado superiore;
  • si confrontano i segni ottenuti dalla tabella con la richiesta della disequazione e con le eventuali soluzioni trovate con le condizioni di esistenza iniziali.

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Esempi


Come avviene per le equazioni fratte, anche nelle disequazioni fratte occorre per prima cosa lavorare sulle espressioni al primo e al secondo membro, al fine di semplificare la disequazione e poterla studiare più facilmente; una volta ottenuta un'unica frazione, si studiano separatamente i fattori del numeratore e del denominatore; quindi i diversi risultati ottenuti si trascrivono nella tabella per lo studio del segno; vediamo alcuni esempi.

Esempio 15.

Consiederiamo l'equazione seguente:

x + 1
———
x + 3
1 − x
———
x + 2
> 4
—————
x² + 5x + 6

Scomponiamo in fattori i denominatori presenti: solo l'ultimo denominatore può esser scomposto.

x + 1
———
x + 3
1 − x
———
x + 2
> 4
—————
(x + 3)(x + 2)

Poniamo le c.e.: ogni denominatore deve esser diverso da zero; studiamo quindi i fattori ottenuti (senza ripere quelli uguali).

  • x + 2 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −2
  • x + 3 ≠ 0   ⇒   se x ≠ −3

Spostiamo la terza frazione a sinistra, cambiando il segno davanti ad essa.

x + 1
———
x + 3
+ 1 − x
———
x + 2
4
—————
(x + 3)(x + 2)
> 0

Unifichiamo le tre frazioni sotto un unico denominatore, ottenuto calcolando l'm.c.m. tra i tre denominatori.

(x+1)(x+2) + (1−x)(x+3) − 4
————————————
(x + 3)(x + 2)
> 0

Svolgiamo i calcoli al numeratore.

x + 1
—————
(x + 3)(x + 2)
> 0

Al numeratore compare un solo fattore (che indicheremo con n1), mentre al denominatore ne compaiono due (indicati con d1 e d2). Studiamo il segno di questi fattori

  • n1 > 0   ⇒   se x > −1
  • d1 > 0   ⇒   se x > −3
  • d2 > 0   ⇒   se x > −2

Compiliamo la tabella per lo studio del segno della frazione:

x   -3   -2   -1  
n1 0 +
d1 + + + + +
d1 + + +
F + 0 +

Riprendiamo la disequazione dall'ultimo passaggio svolto: ci chiedeva di individuare quando la frazione fosse maggiore di zero, quindi positiva.
Di conseguenza dobbiamo prendere gli intervalli in cui all'ultima riga della tabella compare il +.
La soluzione è quindi tra −3 e −2 oppure dopo −1; in formule:

−3 < x < −2 ∨ x > −1

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