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Il segno di un polinomio - regola della scomposizione


Per determinare l'insieme delle soluzioni di una disequazione di un qualunque grado, in particolar modo di quelle di grado superiore al secondo, è necessario seguire alcuni passi:

  • Svolgere i calcoli algebrici in entrambi i membri della disequazione.
  • Utilizzando la regola del trasporto e i principi di equivalenza, portare l'equazione in forma normale.
  • Prendere in considerazione il polinomio a primo membro e scomporlo in fattori (vedi la relativa sezione).

Una volta ottenuti i diversi fattori che compongono il polinomio della disequazione, dobbiamo effettuare lo studio del segno di ognuno di essi, separatamente dagli altri: più basso è il grado dei fattori, più facile è lo studio del segno; in genere una normale scomposizione finisce quando ogni fattore è di primo grado, tuttavia ciò non sempre è possibile, o comunque a volte non è semplice, per cui possono comparire anche fattori di secondo grado.

Il segno di un polinomio

Il segno di un polinomio corrisponde al prodotto dei segni dei suoi singoli fattori.

Per studiare il segno di un fattore, formiamo una disequazione aggiungendo "> 0" al fattore studiato, e risolviamo tale disequazione ottenuta: se il fattore è di primo grado, studiamo una disequazione di primo grado, se al contrario il fattore è di secondo grado, studiamo una disequazione di secondo grado; ovviamente studiare queste disequazioni è molto più facile che studiare la disequazione iniziale!

I risultati dello studio dei diversi fattori si mettono tutti insieme in una tabella in cui si inseriscono, relativamente ai valori dell'incognita x nell'insieme dei numeri reali, i gli intervalli in cui i fattori sono positivi e quelli in cui sono negativi.

Infine si combinano i segni dei diversi fattori, intervallo per intervallo, mediante la regola del prodotto dei segni, ottenendo come risultato il segno del polinomio iniziale.
L'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale è costituito dall'unione di tutti gli intervalli in cui il segno è concorde con il verso della disequazione.

Esempi


Di seguito vengono proposti alcuni esempi, mostrando come studiare separatamente i vari fattori e come inserire i risultati nella tabella dei segni, per poter determinare la soluzione della disequazione originale.

Disequazioni di II grado.

Nonostante abbiamo visto che una disequazione di secondo grado può esser risolta in altri modi, tuttavia il metodo della scomposizione è sempre molto sicuro e affidabile; per poter scomporre un polinomio di II grado in fattori, è tuttavia necessario che il Δ dell'equazione associata non sia negativo.

Esempio 10.

x² − 5x + 4 ≥ 0

Scomponendo in fattori il polinomio P(x), otteniamo due fattori F1 e F2, e la disequazione diventa:

(x − 1)(x −4) ≥ 0

Per cui studiamo separatamente i fattori:
(x − 1) ≥ 0
(x −4) ≥ 0
Da cui otteniamo le soluzioni parziali
F1: x ≥ 1
F2: x ≥ 4
Riportiamo su una tabella tali soluzioni:

x   +1   +4  
F1 0 + + +
F2 0 +
P(x) + 0 0 +

L'insieme delle soluzioni è dato dai valori di x in corrispondenza dei quali P(x) è positivo (+) o nullo (0), in quanto nella disequazione iniziale si chiedeva "≥ 0".
Dalla tabella si riscontra quindi che l'insieme delle soluzioni è:

x ≤ 1   v   x ≥ 4


Esempio 11.

x² − 6x + 9 < 0

Il polinomio è un quadrato di binomio:

(x − 3) ² < 0

Per cui abbiamo un singolo fattore da studiare:
F1: (x − 3) ≥ 0   →   x ≥ 3
Nella tabella questa soluzione parziale deve esser riportata due volte, in quanto tale fattore è al quadrato.

x   +3  
F1 0 +
F1 0 +
P(x) + 0 +

L'insieme delle soluzioni è dato dai valori di x in corrispondenza dei quali P(x) è negativo (−), in quanto nella disequazione iniziale si chiedeva "< 0".
Ma nella tabella si può osservare che tale situazione non si presenta: P(x) può esser solo positivo o nullo! Di conseguenza l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto:

∄ x ∈ R

Disequazioni di III grado.

Un polinomio di III grado è sempre fattorizzabile in R; nel migliore dei casi si ottengono tre fattori di primo grado distinti, ma può capitare di ottenere due fattori coincidenti e uno distino, oppure un solo fattore di primo grado e uno di secondo grado irriducibile (quindi con Δ < 0).

Esempio 12.

x³ − 3x² − 4x + 12 > 0

Il polinomio P(x) si scompone in tre fattori: F1=(x+2), F2=(x−2), F3=(x−3).
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: x + 2 > 0   →   x > −2
F2: x − 2 > 0   →   x > 2
F3: x − 3 > 0   →   x > 3
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.

x   −2   +2   +3  
F1 0 + + + + +
F2 0 + + +
F3 0 +
P(x) 0 + 0 0 +

Dobbiamo prendere solo gli intervalli in cui P(x) è positivo; l'insieme delle soluzioni è quindi:

−2 < x < +2   v   x ≥ +3

Esempio 13.

−5x³ + 5 ≤ 0

Possiamo scomporre il polinomio facendo un raccoglimento totale, mettendo a fattor comune −5, e poi applicando la regola della differenza di due cubi: −5 (x − 1) (x² + x + 1) ≤ 0; l'ultimo fattore, il trinomio di secondo grado, non si può ulteriormente scomporre: è un polinomio irriducibile in R.
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: −5 > 0   →   impossibile!   →   ∄ x ∈ R
F2: x − 1 > 0   →   x > 1
F3: x² + x + 1 > 0   →   polinomio irriducibile   →   ∀ x ∈ R (per la regola della concordanza).
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.

x   +1  
F1
F2 0 +
F3 + + +
P(x) + 0

Dobbiamo considerare gli intervalli in cui P(x) è negativo o nullo; l'insieme delle soluzioni è quindi:

x ≥ +1

Esempio 14.

2x³ + 4x² + 2x ≥ 0

Scomponendo il polinomio in fattori (con un raccoglimento totale e riconoscendo poi il quadrato di un binomio) la disequazione diventa: 2x (x + 1) ² ≥ 0;.
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: 2x > 0   →   x > 0
F2: x + 1 > 0   →   x > − 1
Il fattore F2 viene studiato due volte nella tabella, essendo al quadrato.
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.

x   −1   0  
F1 0 +
F2 0 + + +
F2 0 + + +
P(x) 0 0 +

Dobbiamo considerare gli intervalli in cui P(x) è positivo o nullo; l'insieme delle soluzioni è quindi:

x = −1   v   x ≥ 0

Disequazioni varie.

Per quanto riguarda i polinomi di grado superiore al III, valgono le regole di scomposizione viste nella relativa sezione; ricordiamo soltanto che un polinomio di grado pari (come per la parabola) assume quasi sempre (o sempre) il segno del coefficiente direttore, e in piccoli intervalli (o mai) il segno opposto.
Al contrario nei polinomi di grado dispari il segno del coefficiente direttore non influenza più di tanto il risultato, per cui vi è una distribuzione abbastanza simmetrica tra intervalli con il segno concorde e intervalli con il segno discorde.


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