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Il segno di un polinomio - regola della scomposizione
Per determinare l'insieme delle soluzioni di una disequazione di un qualunque grado, in particolar modo di quelle di grado superiore al secondo, è necessario seguire alcuni passi:
- Svolgere i calcoli algebrici in entrambi i membri della disequazione.
- Utilizzando la regola del trasporto e i principi di equivalenza, portare l'equazione in forma normale.
- Prendere in considerazione il polinomio a primo membro e scomporlo in fattori (vedi la relativa sezione).
Una volta ottenuti i diversi fattori che compongono il polinomio della disequazione, dobbiamo effettuare lo studio del segno di ognuno di essi, separatamente dagli altri: più basso è il grado dei fattori, più facile è lo studio del segno; in genere una normale scomposizione finisce quando ogni fattore è di primo grado, tuttavia ciò non sempre è possibile, o comunque a volte non è semplice, per cui possono comparire anche fattori di secondo grado.
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Il segno di un polinomio
Il segno di un polinomio corrisponde al prodotto dei segni dei suoi singoli fattori.
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Per studiare il segno di un fattore, formiamo una disequazione aggiungendo "> 0" al fattore studiato, e risolviamo tale disequazione ottenuta: se il fattore è di primo grado, studiamo una disequazione di primo grado, se al contrario il fattore è di secondo grado, studiamo una disequazione di secondo grado; ovviamente studiare queste disequazioni è molto più facile che studiare la disequazione iniziale!
I risultati dello studio dei diversi fattori si mettono tutti insieme in una tabella in cui si inseriscono, relativamente ai valori dell'incognita x nell'insieme dei numeri reali, i gli intervalli in cui i fattori sono positivi e quelli in cui sono negativi.
Infine si combinano i segni dei diversi fattori, intervallo per intervallo, mediante la regola del prodotto dei segni, ottenendo come risultato il segno del polinomio iniziale.
L'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale è costituito dall'unione di tutti gli intervalli in cui il segno è concorde con il verso della disequazione.
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Esempi
Di seguito vengono proposti alcuni esempi, mostrando come studiare separatamente i vari fattori e come inserire i risultati nella tabella dei segni, per poter determinare la soluzione della disequazione originale.
♦ Disequazioni di II grado.
Nonostante abbiamo visto che una disequazione di secondo grado può esser risolta in altri modi, tuttavia il metodo della scomposizione è sempre molto sicuro e affidabile; per poter scomporre un polinomio di II grado in fattori, è tuttavia necessario che il Δ dell'equazione associata non sia negativo.
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Esempio 10. Risolviamo la disequazione:
x² − 5x + 4 ≥ 0
Scomponendo in fattori il polinomio P(x), otteniamo due fattori F1 e F2, e la disequazione diventa:
(x − 1)(x −4) ≥ 0
Per cui studiamo separatamente i fattori:
(x − 1) ≥ 0
(x −4) ≥ 0
Da cui otteniamo le soluzioni parziali
F1: x ≥ 1
F2: x ≥ 4
Riportiamo su una tabella tali soluzioni:
| x |
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+1 |
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+4 |
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| F1 |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
| F2 |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| P(x) |
+ |
0 |
− |
0 |
+ |
L'insieme delle soluzioni è dato dai valori di x in corrispondenza dei quali P(x) è positivo (+) o nullo (0), in quanto nella disequazione iniziale si chiedeva "≥ 0".
Conclusione: dalla tabella si riscontra quindi che l'insieme delle soluzioni è:
S = { x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 }
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Esempio 11. Risolviamo la disequazione:
x² − 6x + 9 < 0
Il polinomio è un quadrato di binomio:
(x − 3) ² < 0
Per cui abbiamo un singolo fattore da studiare:
F1: (x − 3) ≥ 0 → x ≥ 3
Nella tabella questa soluzione parziale deve esser riportata due volte, in quanto tale fattore è al quadrato.
| x |
|
+3 |
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| F1 |
− |
0 |
+ |
| F1 |
− |
0 |
+ |
| P(x) |
+ |
0 |
+ |
L'insieme delle soluzioni è dato dai valori di x in corrispondenza dei quali P(x) è negativo (−), in quanto nella disequazione iniziale si chiedeva "< 0", ma nella tabella si può osservare che tale situazione non si presenta P(x) può esser solo positivo o nullo!
Conclusione: l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto:
S = { ∄x ∈ R } = ∅
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♦ Disequazioni di III grado.
Un polinomio di III grado è sempre fattorizzabile in R; nel migliore dei casi si ottengono tre fattori di primo grado distinti, ma può capitare di ottenere due fattori coincidenti e uno distino, oppure un solo fattore di primo grado e uno di secondo grado irriducibile (quindi con Δ < 0).
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Esempio 12. Risolviamo la disequazione:
x³ − 3x² − 4x + 12 > 0
Applicando la regola di Ruffini, osserviamo che il polinomio P(x) si scompone in tre fattori:
F1 = (x+2), F2 = (x−2), F3 = (x−3)
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: x + 2 > 0 → x > −2
F2: x − 2 > 0 → x > 2
F3: x − 3 > 0 → x > 3
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.
| x |
|
−2 |
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+2 |
|
+3 |
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| F1 |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
| F2 |
− |
− |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
| F3 |
− |
− |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| P(x) |
− |
0 |
+ |
0 |
− |
0 |
+ |
Conclusione: dobbiamo prendere solo gli intervalli in cui P(x) è positivo; l'insieme delle soluzioni è quindi:
S = { −2 < x < +2 v x > +3 }
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Esempio 13. Risolviamo la disequazione:
−5x³ + 5 ≤ 0
Possiamo scomporre il polinomio facendo un raccoglimento totale, mettendo a fattor comune −5, e poi applicando la regola della differenza di due cubi:
−5 (x − 1) (x² + x + 1) ≤ 0
L'ultimo fattore, il trinomio di secondo grado, non si può ulteriormente scomporre: è un polinomio irriducibile in R.
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: −5 > 0 → impossibile! → ∄ x ∈ R
F2: x − 1 > 0 → x > 1
F3: x² + x + 1 > 0 → polinomio irriducibile → ∀ x ∈ R (per la regola della concordanza).
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.
| x |
|
+1 |
|
| F1 |
− |
− |
− |
| F2 |
− |
0 |
+ |
| F3 |
+ |
+ |
+ |
| P(x) |
+ |
0 |
− |
Conclusione: dobbiamo considerare gli intervalli in cui P(x) è negativo o nullo; l'insieme delle soluzioni è quindi:
S = { x ≥ +1 }
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Esempio 14. Risolviamo la disequazione:
2x³ + 4x² + 2x ≥ 0
Scomponendo il polinomio in fattori (con un raccoglimento totale e riconoscendo poi il quadrato di un binomio) la disequazione diventa:
2x (x + 1) ² ≥ 0;
Studiamo separatamente i tre fattori:
F1: 2x > 0 → x > 0
F2: x + 1 > 0 → x > − 1
Il fattore F2 viene studiato due volte nella tabella, essendo al quadrato.
Riportiamo nella tabella i risultati parziali ottenuti.
| x |
|
−1 |
|
0 |
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| F1 |
− |
− |
− |
0 |
+ |
| F2 |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
| F2 |
− |
0 |
+ |
+ |
+ |
| P(x) |
− |
0 |
− |
0 |
+ |
Conclusione: dobbiamo considerare gli intervalli in cui P(x) è positivo o nullo; l'insieme delle soluzioni è quindi:
S = { x = −1 v x ≥ 0 }
Da osservare che in questo caso si prende il punto isolato x = −1, che non è un intervallo, e poi l'intervallo delle x ≥ 0. Quindi nelle soluzioni possono comparire sia punti isolati, sia intervalli.
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♦ Disequazioni varie.
Per quanto riguarda i polinomi di grado superiore al III, valgono le regole di scomposizione viste nella relativa sezione; ricordiamo soltanto che:
- i polinomi di grado pari (come per la parabola) assumono quasi sempre (a volte proprio sempre) il segno del coefficiente direttore, mentre quasi mai (a volte proprio mai) il segno opposto;
- al contrario nei polinomi di grado dispari il segno del coefficiente direttore non influenza più di tanto il risultato, per cui vi è una distribuzione abbastanza simmetrica tra intervalli con il segno concorde e intervalli con il segno discorde.
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