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Introduzione - I grado - II grado - Grado qualunque - Fratte

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Il segno del polinomio di II grado


Una disequazione di II grado è in forma normale se, dopo aver svolto tutti i calcoli algebrici e aver applicato i principi di equivalenza, otteniamo un primo membro formato da un polinomio di II grado (generalmente con tre termini) e un secondo membro uguale a zero.

Risolvere una disequazione di II grado corrisponde quindi a studiare il segno di un polinomio di II grado, ovvero (in termini più chiari) studiare se il valore che il polinomio assume per determinati valori di x, è positivo o negativo.

Esempio 5.

Consideriamo il trinomio di II grado:

P(x) = x² − 7x + 10

Esso assume valori diversi, al variare del valore di x; ad esempio.
- se x = 0, allora P(0) = 10
- se x = 1, allora P(1) = 4
- se x = 2, allora P(2) = 0
- se x = 3, allora P(3) = −2

Di conseguenza diremo che tale polinomio è positivo per x che vale 0 e 1, è nullo per x = 2, ed è negativo per x = 3.

Ovviamente studiare il segno di un polinomio non vuol dire andare per tentativi, o provare solo alcuni valori dell'incognita, ma stabilire, relativamente a tutto l'insieme dei numeri reali, per quali di essi il polinomio è positivo, per quali è nullo e per quali è negativo.

Per studiare tale polinomio esistono diverse tecniche e molte scorciatoie, ma bisogna tener presente alcune proprietà fondamentali, che sono di aiuto per lo studio del polinomio, e quindi della disequazione.
Consideriamo quindi il trinomio di secondo grado: ax² + bx + c.

  1. Il segno di un polinomio di II grado dipende da:
    • il coefficiente direttore a (quello di x²);
    • il discriminiante Δ dell'equazione associata;
    • gli eventuali zeri dell'equazione associata.
  2. Generalmente un polinomio di II assume lo stesso segno del coefficiente direttore.
  3. Nel caso assuma anche segno opposto a quello del coefficiente a, ciò avviene solo per un piccolo intervallo di valori.

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Risoluzione di una disequazione di II grado


Ricordando che gli zeri di un polinomio di II grado P(x) e il suo segno dipendono dal coefficiente a e dal Δ, possiamo fare uno studio completo delle soluzioni di una disequazione di II grado; (nel caso abbiate difficoltà a visualizzare le tabelle e gli schemi seguenti, nella sezione Download potete scaricare una tabella chiara e completa, in formato pdf). Di seguito sono indicate alcune regole utili per determinare le soluzioni della disequazione.

Consideriamo P(x) = ax² + bx + c un polinomio di secondo grado nell'incognita x, e siano: x0 la soluzione nel caso Δ = 0, x1 e x2 le soluzioni nel caso Δ > 0.

1. Regola generale

Primo caso: a > 0

Se Δ > 0

  • P(x) = 0   ⇒   x=x1 ∨ x=x2
  • P(x) > 0   ⇒   x<x1 ∨ x>x2
  • P(x) ≥ 0   ⇒   x≤x1 ∨ x ≥ x2
  • P(x) < 0   ⇒   x1 < x < x2
  • P(x) ≤ 0   ⇒   x1 ≤ x ≤ x2

Se Δ = 0

  • P(x) = 0   ⇒   x = x0
  • P(x) > 0   ⇒   ∀x ≠ x0
  • P(x) ≥ 0   ⇒   ∀x ∈
  • P(x) < 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) ≤ 0   ⇒   x = x0

Se Δ < 0

  • P(x) = 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) > 0   ⇒   ∀x ∈
  • P(x) ≥ 0   ⇒   ∀x ∈
  • P(x) < 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) ≤ 0   ⇒   ∄x ∈

Secondo caso: a < 0

Se Δ > 0

  • P(x) = 0   ⇒   x=x1 ∨ x=x2
  • P(x) > 0   ⇒   x1 < x < x2
  • P(x) ≥ 0   ⇒   x1 ≤ x ≤ x2
  • P(x) < 0   ⇒   x<x1 ∨ x>x2
  • P(x) ≤ 0   ⇒   x≤x1 ∨ x ≥ x2

Se Δ = 0

  • P(x) = 0   ⇒   x = x0
  • P(x) > 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) ≥ 0   ⇒   x = x0
  • P(x) < 0   ⇒   ∀x ≠ x0
  • P(x) ≤ 0   ⇒   ∀x ∈

Se Δ < 0

  • P(x) = 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) > 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) ≥ 0   ⇒   ∄x ∈
  • P(x) < 0   ⇒   ∀x ∈
  • P(x) ≤ 0   ⇒   ∀x ∈

Possiamo tuttavia usare regole più veloci, che con un minimo ragionamento ci aiutano a risolvere una disequazione di II grado, senza dover imparare a memoria tutto questo schema!

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2. Regola della parabola

Il metodo più diffuso per risolvere una disequazione di II grado in forma normale, è quello di passare per la rappresentazione grafica della parabola associata a tale disequazione.

Consideriamo il polinomio: P(x) = ax² + bx + c. Possiamo associare ad esso la parabola di equazione:

y = ax² + bx + c

E rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. Vale la seguente regola:

Regola della parabola

I punti della parabola aventi la y positiva corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) > 0.

I punti della parabola aventi la y negativa corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) < 0.

L'insieme delle soluzioni di tali disequazioni è la zona (o le zone) dell'asse x corrispondenti ai punti trovati.

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3. Regola della concordanza

Questa regola è una scorciatoia, che permette di riassumere lo schema generale in meno casi.

Diremo che in una disequazione di II grado in forma normale c'è concordanza se il segno del coefficiente a è concorde al verso della disequazione, ossia che lui da solo, senza le x e senza i coefficienti b e c, verificherebbe la disequazione.

Al contrario diremo che c'è discordanza se il segno del coefficiente a non è concorde al verso della disequazione.

Possiamo quindi riassumere la regola della concordanza nel seguente schema.

CONCORDANZA

Δ

con > o <

con o

Δ > 0

x < x1 ∨ x > x2

x ≤ x1 ∨ x ≥ x2

Δ = 0

∀ x ≠ x0

∀ x ∈ R

Δ < 0

∀ x ∈ R

∀ x ∈ R

DISCORDANZA

Δ

con > o <

con o

Δ > 0

x1 < x < x2

x1 ≤ x ≤ x2

Δ = 0

∄ x ∈ R

x = x0

Δ < 0

∄ x ∈ R

∄ x ∈ R

Vediamo ora alcuni esempi in cui applicare questa regola.

Esempio 6.

Nella disequazione: x² − 8x − 9 ≥ 0 c'è concordanza poiché il coefficiente a = 1, e il verso della disequazione è "≥ 0", quindi 1 ≥ 0 è una disuguaglianza vera.
Gli zeri dell'equazione associata sono −1 e 9, per cui l'insieme delle soluzioni è:

x < −1 ∨ x > 9


Esempio 7.

Al contrario nella disequazione: 2x² − 4x + 8 < 0 c'è discordanza poiché il coefficiente a = 2, e il verso della disequazione è "< 0", quindi 2 < 0 è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata non ammette zeri (il Δ è negativo), per cui l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto, ossia:

∄ x ∈ R


Esempio 8.

Anche nella disequazione: −5x² + x − 4 > 0 c'è discordanza poiché il coefficiente a = −5, e il verso della disequazione è "> 0", quindi −5 > 0 non è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata ha due zeri distinti, −4/5 e 1, per cui la soluzione è data dall'insieme delle x, tali che:

−4/5 ≤ x ≤ 1.


Esempio 9.

Infine nella disequazione: −2x² + 8x − 8 ≤ 0 c'è concordanza poiché il coefficiente a = −2, e il verso della disequazione è "≤ 0", quindi −2 ≤ 0 è una disuguaglianza vera.
L'equazione associata ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0), quindi vi è un unico zero x=2; l'insieme delle soluzioni è quindi dato da tutto l'insieme dei numeri reali:

∀ x ∈ R

4. Regola della scomposizione

Il modo migliore per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione è scomporre in fattori il polinomio di II grado, e studiare separatamente il segno dei singoli fattori.
Vedi la pagina successiva, in quanto questa regola può esser applicata a polinomi di ogni grado.

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