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Segno del polinomio di 2° grado


Una disequazione di 2° grado è in forma normale se, dopo aver svolto tutti i calcoli algebrici e aver applicato i principi di equivalenza, otteniamo un primo membro formato da un polinomio di 2° grado (generalmente con tre termini) e un secondo membro uguale a zero.

Risolvere una disequazione di 2° grado corrisponde quindi a studiare il segno di un polinomio di 2° grado, ovvero (in termini più chiari) studiare se il valore che il polinomio assume per determinati valori di x, è positivo o negativo.

Esempio 5. Studiamo, per x = 0, 1, 2, 3, il segno del trinomio di 2° grado:

P(x) = x² − 7x + 10

Esso assume valori diversi, al variare del valore di x:

  • se x = 0, allora P(0) = 10
  • se x = 1, allora P(1) = 4
  • se x = 2, allora P(2) = 0
  • se x = 3, allora P(3) = −2

Di conseguenza diremo che tale polinomio è positivo per x che vale 0 e 1, è nullo per x = 2, ed è negativo per x = 3.

Ovviamente studiare il segno di un polinomio non vuol dire andare per tentativi, o provare solo alcuni valori dell'incognita, ma stabilire, relativamente a tutto l'insieme dei numeri reali, per quali di essi il polinomio è positivo, per quali è nullo e per quali è negativo.

Per studiare tale polinomio esistono diverse tecniche e molte scorciatoie, ma bisogna tener presente alcune proprietà fondamentali, che sono di aiuto per lo studio del polinomio, e quindi della disequazione.

Il segno di un polinomio di 2° grado ax² + bx + c dipende da:

  • il coefficiente direttore a:

    il polinomio assume quasi sempre lo stesso segno di a;

  • il discriminiante Δ dell'equazione associata:

    se Δ è negativo, il segno del polinomio non cambia; se è positivo, il segno cambia;

  • gli eventuali zeri dell'equazione associata:

    eventuali cambi di segno si hanno in corrispondenza degli zeri.

Vediamo ora in dettaglio alcune regole per determinare le soluzioni di una disequazione di 2° grado, tenendo presente le considerazioni appena viste.

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Risoluzione di una disequazione di 2° grado


Ricordando che gli zeri di un polinomio di 2° grado P(x) e il suo segno dipendono dal coefficiente a e dal Δ, possiamo fare uno studio completo delle soluzioni di una disequazione di 2° grado; (nel caso abbiate difficoltà a visualizzare le tabelle e gli schemi seguenti, nella sezione Download potete scaricare una tabella chiara e completa, in formato pdf).

Di seguito sono indicate alcune regole utili per determinare le soluzioni di una disequazione di 2° grado, in cui si studia il segno di un polinomio:

P(x) = ax² + bx + c

dove con x₀ indichiamo la sola soluzione nel caso Δ = 0, e con x₁ e x₂ indichiamo le due soluzioni nel caso Δ > 0 (con x₁ < x₂).

1. Regola generale

Dopo aver determinato il Δ ed eventualmente trovato le soluzioni dell'equazione associata, le soluzione della disequazione si determinano a seconda del segno di a e di Δ, secondo i seguenti casi:

Δ>0Diseq.Se a>0 Se a<0
P(x) > 0 x<x₁ ∨ x>x₂ x₁ < x < x₂
P(x) ≥ 0 x≤x₁ ∨ x≥x₂ x₁ ≤ x ≤ x₂
P(x) < 0 x₁ < x < x₂ x<x₁ ∨ x>x₂
P(x) ≤ 0 x₁ ≤ x ≤ x₂ x≤x₁ ∨ x≥x₂
 
Δ=0Cond. iniz.Se a > 0 Se a < 0
P(x) > 0 ∀x ≠ x₀ ∄x ∈
P(x) ≥ 0 ∀x ∈ x = x₀
P(x) < 0 ∄x ∈ ∀x ≠ x₀
P(x) ≤ 0 x = x₀ ∀x ∈
 
Δ<0Cond. iniz.Se a > 0 Se a < 0
P(x) > 0 ∀x ∈ ∄x ∈
P(x) ≥ 0 ∀x ∈ ∄x ∈
P(x) < 0 ∄x ∈ ∀x ∈
P(x) ≤ 0 ∄x ∈ ∀x ∈

Troppo complicato? Possiamo usare regole più veloci che, con un minimo ragionamento in più, ci aiutano a risolvere una qualunque disequazione di 2° grado, senza dover imparare a memoria tutto questo schema!

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2. Regola della parabola

Il metodo più diffuso per risolvere una disequazione di 2° grado in forma normale, è quello di passare per la rappresentazione grafica della parabola associata a tale disequazione.

Consideriamo il polinomio: P(x) = ax² + bx + c. Possiamo associare ad esso la parabola di equazione:

y = ax² + bx + c

e rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. Osservando le zone della parabola che si trovano sopra e sotto l'asse x, vale la seguente regola:

Regola della parabola

I punti della parabola sull'asse x corrispondono ai punti che verificano l'equazione P(x) = 0.

I punti della parabola aventi la y positiva corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) > 0.

I punti della parabola aventi la y negativa corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) < 0.

♦ ♦ ♦

L'insieme delle soluzioni è formato dagli intervalli sull'asse x corrispondenti ai punti trovati.

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3. Regola della concordanza

Questa regola è una scorciatoia, che permette di riassumere lo schema generale in meno casi.

Diremo che in una disequazione di 2° grado in forma normale c'è concordanza se il segno del coefficiente a è concorde al verso della disequazione, ossia che lui da solo, senza le x e senza i coefficienti b e c, verificherebbe la disequazione.

Al contrario diremo che c'è discordanza se il segno del coefficiente a non è concorde al verso della disequazione.

Possiamo quindi riassumere la regola della concordanza nel seguente schema.

Δ Zeri Concordanza Discordanza
Δ>0 x₁, x₂ x<x₁ ∨ x>x₂ x₁ < x < x₂
Δ=0 x₀ ∀x ≠ x₀ ∄x ∈ ℝ
Δ<0 ∀x ∈ ℝ ∄x ∈ ℝ

In forma ancora più schematica, nel caso in cui ci sono due zeri distinti si ha:

Concordanza   →   intervalli esterni agli zeri

Discordanza   →   intervallo interno agli zeri

Ovviamente negli altri due casi l'intervallo interno scompare, mentre quelli esterni si collegano tra loro.

Per semplicità in questo schema non sono stati inseriti i casi misti (≤, ≥), che però si possono ricavare facilmente unendo gli zeri con i relativi casi di concordanza o di discordanza.

Vediamo ora alcuni esempi in cui applicare questa comoda regola.

Esempio 6. Risolviamo la disequazione:

x² − 8x − 9 ≥ 0

L'equazione associata è

x² − 8x − 9 = 0

Risolvendo tale equazione, otteniamo che ha due zeri distini: −1 e 9,

In questa disequazione c'è concordanza poiché il coefficiente a = 1, e il verso della disequazione è "≥ 0", quindi 1 ≥ 0 è una disuguaglianza vera: dobbiamo prendere gli intervalli esterni ai due zeri trovati.

Conclusione: l'insieme delle soluzioni della disequazione iniziale è:

S = { x < −1 ∨ x > 9 }


Esempio 7. Risolviamo la disequazione:

2x² − 4x + 8 < 0

Al contrario in questa disequazione c'è discordanza poiché il coefficiente a = 2, e il verso della disequazione è "< 0", quindi 2 < 0 è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata non ammette zeri (il Δ è negativo) per cui il polinomio assume sempre lo stesso segno (quello del coefficiente a), non essendoci né zeri, né l'intervallo interno ad essi.

Conclusione: l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto, ossia:

S = { ∄x ∈ ℝ } = ∅


Esempio 8. Risolviamo la disequazione:

−5x² + x − 4 > 0

L'equazione associata ha delta positivo e quindi due zeri distinti, che sono −4/5 e 1.

Nella disequazione c'è nuovamente discordanza poiché il coefficiente a = −5, e il verso della disequazione è "> 0", quindi −5 > 0 non è una disuguaglianza falsa: la disequazione avrà come soluzione l'intervallo compreso tra i due zeri.

Conclusione: la soluzione è data dall'insieme:

S = { −4/5 ≤ x ≤ 1 }


Esempio 9. Risolviamo la disequazione:

−2x² + 8x − 8 ≤ 0

L'equazione associata ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0), quindi vi è un unico zero x = 2; perciò il polinomio assume quasi sempre lo stesso segno (quello del coefficiente a), essendoci un unico zero, e mancando l'intervallo interno.

In questa disequazione c'è concordanza poiché il coefficiente a = −2, e il verso della disequazione è "≤ 0", quindi −2 ≤ 0 è una disuguaglianza vera; dovendo prendere gli zeri e gli intervalli esterni, possiamo prendere tutti i numeri reali.

Conclusione: l'insieme delle soluzioni è dato da tutto l'insieme dei numeri reali:

S = { ∀x ∈ ℝ } = ℝ

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4. Regola della scomposizione

Il modo migliore per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione è scomporre in fattori il polinomio di 2° grado, e studiare separatamente il segno dei singoli fattori.

Dal momento che questa regola può esser applicata a polinomi di ogni grado, tale regola è descritta in dettaglio nella pagina successiva.

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