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Introduzione - I grado - II grado - Grado superiore

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Il segno del polinomio di II grado


Una disequazione di II grado è in forma normale se, dopo aver svolto tutti i calcoli algebrici e aver applicato i principi di equivalenza, otteniamo un primo membro formato da un polinomio di II grado (generalmente con tre termini) e un secondo membro uguale a zero.

Risolvere una disequazione di II grado corrisponde quindi a studiare il segno di un polinomio di II grado, ovvero (in termini più chiari) studiare se il valore che il polinomio assume per determinati valori di x, è positivo o negativo.

Esempio 5.

Consideriamo il trinomio di II grado:

P(x) = x² − 7x + 10

Esso assume valori diversi, al variare del valore di x; ad esempio.
- se x = 0, allora P(0) = 10
- se x = 1, allora P(1) = 4
- se x = 2, allora P(2) = 0
- se x = 3, allora P(3) = −2

Di conseguenza diremo che tale polinomio è positivo per x che vale 0 e 1, è nullo per x = 2, ed è negativo per x = 3.

Ovviamente studiare il segno di un polinomio non vuol dire andare per tentativi, o provare solo alcuni valori dell'incognita, ma stabilire, relativamente a tutto l'insieme dei numeri reali, per quali di essi il polinomio è positivo, per quali è nullo e per quali è negativo.

Per studiare tale polinomio esistono diverse tecniche e molte scorciatoie, ma bisogna tener presente alcune proprietà fondamentali, che sono di aiuto per lo studio del polinomio, e quindi della disequazione.
Consideriamo quindi il trinomio di secondo grado: ax² + bx + c.

  1. Il segno di un polinomio di II grado dipende da:
    • il coefficiente direttore a (quello di x²);
    • il discriminiante Δ dell'equazione associata;
    • gli eventuali zeri dell'equazione associata.
  2. Generalmente un polinomio di II assume lo stesso segno del coefficiente direttore.
  3. Nel caso assuma anche segno opposto a quello del coefficiente a, ciò avviene solo per un piccolo intervallo di valori.

Risoluzione di una disequazione di II grado


Ricordando che gli zeri di un polinomio di II grado P(x) e il suo segno dipendono dal coefficiente a e dal Δ, possiamo fare uno schema completo delle soluzioni di una disequazione di II grado:

INSIEME DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO - SCHEMA RIASSUNTIVO

♦   Se a > 0

Δ

Eq. Ass.

P(x)>0

P(x)≥0

P(x)<0

P(x)≤0

Δ>0

x=x1
V
x=x2

x<x1
V
x>x2

x≤x1
V
x ≥ x2

x1<x<x2

x1≤x≤x2

Δ=0

x=x0
doppia

∀x≠x0

∀x∈R

∄x∈R

x = x0

Δ<0

∄x∈R

∀x∈R

∀x∈R

∄x∈R

∄x∈R

♦   Se a < 0

Δ

Eq. Ass.

P(x)>0

P(x)≥0

P(x)<0

P(x)≤0

Δ>0

x=x1
V
x = x2

x1<x<x2

x1≤x≤x2

x<x1
V
x>x2

x≤x1
V
x≥x2

Δ=0

x=x0
doppia

∄x∈R

x=x0

∀x≠x0

∀x∈R

Δ<0

∄x∈R

∄x∈R

∄x∈R

∀x∈R

∀x∈R

Possiamo usare delle regole che ci aiutano a risolvere una disequazione di II grado, senza dover imparare a memoria tutta questa tabella!
Vediamone alcune.

1. Regola della parabola

Il metodo più diffuso per risolvere una disequazione di II grado in forma normale, è quello di passare per la rappresentazione grafica della parabola associata a tale disequazione.

Consideriamo il polinomio: P(x) = ax² + bx + c. Possiamo associare ad esso la parabola di equazione:

y = ax² + bx + c

E rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. Vale la seguente regola:

Regola della parabola

I punti della parabola aventi la y positiva corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) > 0.

I punti della parabola aventi la y negativa corrispondono ai punti che verificano la disequazione P(x) < 0.

L'insieme delle soluzioni di tali disequazioni è la zona (o le zone) dell'asse x corrispondenti ai punti trovati.

2. Regola della concordanza

Questa regola è una scorciatoia, che permette di riassumere la tabella precedente in meno casi.

Diremo che in una disequazione di II grado in forma normale c'è concordanza se il segno del coefficiente a è concorde al verso della disequazione, ossia che lui da solo, senza le x e senza i coefficienti b e c, verificherebbe la disequazione.

Al contrario diremo che c'è discordanza se il segno del coefficiente a non è concorde al verso della disequazione.

Possiamo quindi riassumere la regola della concordanza nel seguente schema.

CONCORDANZA

Δ

con > o <

con o

Δ > 0

x < x1 V x > x2

x ≤ x1 V x ≥ x2

Δ = 0

∀ x ≠ x0

∀ x ∈ R

Δ < 0

∀ x ∈ R

∀ x ∈ R

DISCORDANZA

Δ

con > o <

con o

Δ > 0

x1 < x < x2

x1 ≤ x ≤ x2

Δ = 0

∄ x ∈ R

x = x0

Δ < 0

∄ x ∈ R

∄ x ∈ R

Vediamo ora alcuni esempi in cui applicare questa regola.

Esempio 6.

Nella disequazione: x² − 8x − 9 ≥ 0 c'è concordanza poiché il coefficiente a = 1, e il verso della disequazione è "≥ 0", quindi 1 ≥ 0 è una disuguaglianza vera.
Gli zeri dell'equazione associata sono −1 e 9, per cui l'insieme delle soluzioni è:

x < −1 v x > 9


Esempio 7.

Al contrario nella disequazione: 2x² − 4x + 8 < 0 c'è discordanza poiché il coefficiente a = 2, e il verso della disequazione è "< 0", quindi 2 < 0 è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata non ammette zeri (il Δ è negativo), per cui l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto, ossia:

∄ x ∈ R


Esempio 8.

Anche nella disequazione: −5x² + x − 4 > 0 c'è discordanza poiché il coefficiente a = −5, e il verso della disequazione è "> 0", quindi −5 > 0 non è una disuguaglianza falsa.
L'equazione associata ha due zeri distinti, −4/5 e 1, per cui la soluzione è data dall'insieme delle x, tali che:

−4/5 ≤ x ≤ 1.


Esempio 9.

Infine nella disequazione: −2x² + 8x − 8 ≤ 0 c'è concordanza poiché il coefficiente a = −2, e il verso della disequazione è "≤ 0", quindi −2 ≤ 0 è una disuguaglianza vera.
L'equazione associata ammette due soluzioni coincidenti (Δ = 0), quindi vi è un unico zero x=2; l'insieme delle soluzioni è quindi dato da tutto l'insieme dei numeri reali:

∀ x ∈ R

3. Regola della scomposizione

Il modo migliore per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione è scomporre in fattori il polinomio di II grado, e studiare separatamente il segno dei singoli fattori.
Vedi la pagina successiva, in quanto questa regola può esser applicata a polinomi di ogni grado.


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