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CONTENUTO DELLA PAGINA
Princìpi di equivalenza
Risoluzione di una disequazione di 1° grado
Princìpi di equivalenza
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Similmente alle equazioni, anche per le disequazioni valgono i principi di equivalenza, ma con qualche variazione.
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Primo principio di equivalenza delle disequazioni
Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione una stessa quantità o espressione algebrica, si ottiene una disequazione equivalente a quella iniziale.
Secondo principio di equivalenza delle disequazione
Moltiplicando o dividendo ad entrambi i membri di una disequazione per una stessa quantità o espressione algebrica positiva, si ottiene una equazione disequazione a quella iniziale;
se tale quantità o espressione ha valore negativo, si ottiene una disequazione inversa a quella data.
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In altre parole se moltiplichiamo entrambi i membri per un numero negativo, cambia il verso della disequazione.
Tale principio è intuitivo se pensiamo a ciò che accade ai numeri interi, ad esempio:
5 > 3, mentre al contrario −5 < −3;
1 ≤ 4, mentre al contrario −1 ≥ −4.
In generale:
- A(x) > B(x) ⇔ − A(x) < − B(x)
- A(x) ≥ B(x) ⇔ − A(x) ≤ − B(x)
- A(x) < B(x) ⇔ − A(x) > − B(x)
- A(x) ≤ B(x) ⇔ − A(x) ≥ − B(x)
Anche per le disequazioni, come per le equazioni, vale la regola del trasporto :
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Portando una qualunque espressione da un membro all'altro della disequazione, cambiandone il segno, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
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In questo caso il verso della disequazione non cambia.
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Risoluzione di una disequazione di 1° grado
Una equazione polinomiale di primo grado determinata possiede un'unica soluzione. In tal caso l'equazione è ridotta in forma elementare se il primo membro è formato dalla sola incognita e nient'altro, e se il secondo membro è costituito dalla soluzione.
La risoluzione di una disequazione è il procedimento per cui, applicando più volte i due principi di equivalenza si possa arrivare ad una disequazione più semplice, e quindi stabilire se la disequazione è determinata, indeterminata o impossibile:
- è determinata se si arriva a scrivere la soluzione, sotto forma di disequazione elementare equivalente a quella data;
- è indeterminata se si arriva a scrivere una disuguaglianza valida, in cui non compare più l'incognita;
- è impossibile se si arriva a scrivere una disuguaglianza errata, in cui non compare più l'incognita.
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Esempio 4. Stabiliamo se la disequazione:
3x − (x − 3) ≥ 3x + 4(x + 2)
sia determinata, indeterminata o impossibile, applicando i principi di equivalenza e la regola del trasporto, ed eventualmente troviamo l'insieme delle soluzioni.
Prima di tutto svolgiamo i calcoli nelle espressioni presenti nei due membri:
3x − x + 3 ≥ 3x + 4x + 8
2x + 3 ≥ 7x + 8
A questo punto, applicando la regola del trasporto, portiamo il (+3) al secondo membro, trasformandolo il (−3) e il (+7x) al primo membro, trasformandolo il (−7x):
2x − 7x ≥ 8 − 3
− 5x ≥ 5
Infine, applicando il secondo principio, dividiamo per (− 5) entrambi i membri; facciamo attenzione che stiamo dividendo per un numero negativo, quindi il verso della disequazione cambia!!! Otteniamo quindi:
x ≤ 1
Abbiamo ottenuto una disequazione elementare?
Conclusione: la disequazione iniziale è determinata e l'insieme delle soluzioni è:
S = { x ≤ 1 }
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