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Princìpi di equivalenza


Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Similmente alle equazioni, anche per le disequazioni valgono i principi di equivalenza, ma con qualche variazione.

Primo principio di equivalenza delle disequazioni

Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione una stessa quantità o espressione algebrica, si ottiene una disequazione equivalente a quella iniziale.

Secondo principio di equivalenza delle disequazione

Moltiplicando o dividendo ad entrambi i membri di una disequazione per una stessa quantità o espressione algebrica positiva, si ottiene una equazione disequazione a quella iniziale;
se tale quantità o espressione ha valore negativo, si ottiene una disequazione inversa a quella data.

In altre parole se moltiplichiamo entrambi i membri per un numero negativo, cambia il verso della disequazione.
Tale principio è intuitivo se pensiamo a ciò che accade ai numeri interi, ad esempio:
5 > 3, mentre al contrario −5 < −3;
1 ≤ 4, mentre al contrario −1 ≥ −4.
In generale:

  • A(x) > B(x)   →   − A(x) < − B(x)
  • A(x) ≥ B(x)   →   − A(x) ≤ − B(x)
  • A(x) < B(x)   →   − A(x) > − B(x)
  • A(x) ≤ B(x)   →   − A(x) ≥ − B(x)

Anche per le disequazioni, come per le equazioni, vale la regola del trasporto: portando da un membro all'altro della disequazione una qualunque quantità, cambiandone il segno, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Risoluzione di una disequazione di primo grado


Una equazione polinomiale di primo grado determinata possiede un'unica soluzione. In tal caso l'equazione è ridotta in forma elementare se il primo membro è formato dalla sola incognita e nient'altro, e se il secondo membro è costituito dalla soluzione.

La risoluzione di una disequazione è il procedimento per cui, applicando più volte i due principi di equivalenza si possa arrivare ad una disequazione più semplice, e quindi stabilire se la disequazione è determinata, indeterminata o impossibile:
- è determinata se si arriva a scrivere la soluzione, sotto forma di disequazione elementare equivalente a quella data;
- è indeterminata se si arriva a scrivere una disuguaglianza valida, in cui non compare più l'incognita;
- è impossibile se si arriva a scrivere una disuguaglianza errata, in cui non compare più l'incognita.

Esempio 4.

Consiederiamo la disequazione:

3x − (x − 3) ≥ 3x + 4(x + 2)

Vogliamo stabilire se sia determinata, indeterminata o impossibile, applicando i principi di equivalenza e la regola del trasporto, ed eventualmente trovare l'insieme delle soluzioni.

Prima di tutto svolgiamo i calcoli nelle espressioni presenti nei due membri:

3x − x + 3 ≥ 3x + 4x + 8

2x + 3 ≥ 7x + 8

A questo punto, applicando la regola del trasporto, portiamo il (+3) al secondo membro, trasformandolo il (−3) e il (+7x) al primo membro, trasformandolo il (−7x):

2x − 7x ≥ 8 − 3

− 5x ≥ 5

Infine, applicando il secondo principio, dividiamo per (− 5) entrambi i membri; facciamo attenzione che stiamo dividendo per un numero negativo, quindi il verso della disequazione cambia!!! Otteniamo quindi:

x ≤ 1

Abbiamo ottenuto una disequazione elementare!
Quindi la disequazione iniziale è determinata e l'insieme delle soluzioni è dato da x ≤ 1.


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