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Gli angoli


Consideriamo due semipiani generati da due rette incidenti.

L'intersezione tra i due semipiani è chiamata angolo convesso, mentre l'unione dei due semipiani è chiamata angolo concavo.

Il punti in comune tra le due rette è chiamato vertice dell'algolo, e le semirette che delimitano l'angolo sono dette lati dell'angolo; un angolo convesso non contiene i prolungamenti dei propri lati; un angolo concavo al contrario contiene i prolungamenti dei propri lati (vedi figura 2).

angolo concavo e convesso
Figura 2

Se le due rette non sono incidenti, ma coincidono, possono verificarsi due casi:

  • se i semipiani non coincidono (sono opposti), l'angolo ottenuto dall'intersezione è chiamato angolo nullo, quello ottenuto dall'unione angolo giro;
  • se i semipiani coincidono, l'angolo ottenuto dall'unione e l'intersezione combaciano, e l'angolo è chiamato angolo piatto.

Un angolo piatto è quindi un angolo la cui ampiezza è compresa tra quella un angolo convesso e quella uno concavo.

Due angoli sono consecutivi se hanno solo il vertice e un lato in comune; sono adiacenti se, oltre ad esser consecutivi, i lati rimanenti si trovano sulla stessa retta (in direzioni opposte).

angolo consecutivi e adiacenti
Figura 3

Nella figura 3 sono evidenziati gli angoli convessi α, β, γ, δ, tutti consecutivi tra loro; inoltre gli angoli γ e δ sono anche adiacenti.
Se due angoli adiacenti sono congruenti fra loro, ciascuno di essi è chiamato angolo retto: un angolo retto è quindi individuato da due rette perpendicolari; ogni angolo convesso contenuto in un angolo retto è detto angolo acuto, mentre al contrario un angolo convesso contenente un angolo retto è detto angolo ottuso.
Sempre con riferimento alla figura 3, gli angoli α, β, γ sono acuti, mentre l'angolo δ è ottuso.

Due angoli sono supplementari se la loro unione forma un angolo piatto, mentre sono complementari se la loro unione forma un angolor retto; infine sono esplementari se la loro unione forma un angolo giro.
Quindi due angoli adiacenti sono sempre supplementari. Inoltre due angoli complementari, diversi dall'angolo nullo, sono sempre acuti, mentre due angoli supplementari, diversi dall'angolo nullo e dall'angolo retto, sono sempre: uno acuto e uno ottuso.

I poligoni



Un poligono è la parte di piano compresa all'interno di una poligonale chiusa (con almeno tre segmenti).

I segmenti che formano un poligono sono detti lati del poligono e i punti estremi in comune tra i due lati sono detti vertici del poligono; ogni vertice identifica un angolo interno al poligono.
Un angolo adiacente ad un angolo interno del poligono è chiamato angolo esterno del poligono: ogni angolo esterno è supplementare del corrispondente angolo interno.
Una diagonale di un poligono è un qualunque segmento che unisca due vertici non consecutivi del poligono; un poligono di n lati possiede un numero nd di diagonali dato dalla formula:

nd = n(n – 3) / 2

Possiamo classificare i poligoni in base al numero dei lati (e dei vertici), utilizzando una nomenclatura di origine greca; ad esempio, ecco alcuni poligoni regolari comuni:

N. lati Nome
3 triangolo
4 quadrilatero
5 pentagono
6 esagono
7 ettagono
8 ottagono
9 ennagono
10 decagono
11 endecagono
12 dodecagono
13 tridecagono
14 tetradecagono
15 pentadecagono
16 esadecagono
17 eptadecagono
18 ottadecagono
19 ennadecagono
20 icosagono
30 triacontagono
40 tetracontagono
50 pentacontagono
100 hectogono
1000 chiliagono

Proprietà e casi particolai dei poligoni:

Un poligono si dice convesso se tutti i suoi angoli interni sono angoli convessi; un poligono convesso può esser ottenuto come l'intersezione di più semipiani.

Un poligono si dice concavo se tutti almeno un suo angolo interno è un angolo concavo; un poligono concavo può esser ottenuto come l'intersezione e l'unione di più semipiani.

Un poligono convesso è inscrivibile in una circonferenza se è possibile disegnare una circonferenza esterna al poligono che passi per tutti i suoi vertici; se un poligono è inscrivibile in una circonferenza, chiamiamo raggio del poligono il raggio di tale circonferenza.

Un poligono convesso è circoscrivibile ad una circonferenza se è possibile disegnare una circonferenza interna al poligono che tocchi (in modo tangente) tutti i suoi lati; se un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza, chiamiamo apotema del poligono il raggio di tale circonferenza.

Un poligono convesso è regolare se tutti i suoi lati sono congruenti tra loro e tutti gli angoli interni congruenti tra loro; un poligono regolare è sempre inscrivibile e circoscrivibile in una circonferenza. Vedi la pagina successiva per approfondire i poligoni regolari.

Un poligono è stellato se non possiede lati canonici, ma il ruolo di lato è assunto da (alcune) sue diagonali.

Luoghi geometrici


Un luogo geometrico è un insieme di punti del piano individuati da una determinata proprietà caratteristica; cambiando tale proprietà varia il luogo geometrico.

Ecco un elenco di luoghi studianti normalmente in geometria:

  • il luogo dei punti giacenti tutti lungo la stessa direzione identifica una retta (definizione data da Euclide)
  • il luogo dei punti equidistanti da due punti fissati A e B identifica l'asse di simmetria del segmento AB
  • il luogo dei punti equidistanti da due rette r e s incidenti in un punto O identifica la bisettrice degli angoli rOs

In geometria analitica è possibile individuare un luogo geometrico sul piano cartesiano per mezzo di una relazione (o meglio, un'equazione) tra la x e la y dei punti appartenenti al luogo. Un punto appartiene ad un luogo geometrico se e solo se le sue coordinate verificano l'equazione del luogo.
Ogni luogo geometrico è quindi collegato ad una determinata equazione. In generale, due luoghi aventi equazioni equivalenti hanno uguale rappresentazione sul piano cartesiano.

Le coniche sono luoghi studianti normalmente in geometria analitica; esse si classificano nel seguente modo:

  • il luogo dei punti aventi tutti la stessa distanza da un punto fissato C identifica una circonferenza di centro C
  • il luogo dei punti equidistanti da una retta r e un punto F (esterno alla retta) identifica una parabola
  • il luogo dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissati identifica un'ellisse
  • il luogo dei punti per i quali è costante la differeza (in modulo) tra le distanze da due punti fissati identifica un'iperbole

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