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Introduzione - Proprietà dei triangoli - Criteri di similitudine - Triangoli rettangoli

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I triangoli


Ricordiamo che un poligono è la parte di piano compresa all'interno di una poligonale chiusa, con almeno tre segmenti (vedi poligoni); ogni segmento della poligonale è chiamato lato del poligono; ciascun punto in comune tra due lati consecutivi è chiamato vertice della figura; infine ogni vertice, con i suoi due lati adiacenti, forma un angolo interno del poligono.

I triangoli sono i poligoni più diffusi in natura, essendo i più semplici da formare: non si possono creare poligoni con meno di tre lati, in quanto con uno o due lati si possono formare solo segmenti.

Da un punto di vista geometrico formale, possiamo introdurre i triangoli in diversi modi equivalenti.
La definizione più semplice e più conosciuta è:

Un triangolo è un poligono avente 3 lati.

tuttavia possiamo definirlo anche cosiì:

Un triangolo è l'intersezione (limitata e non nulla) di 3 semipiani formati da rette non parallele fra loro.

o infine:

Un triangolo è l'intersezione (limitata e non nulla) di 3 angoli convessi aventi i lati a 2 a 2 sovrapposti.

elementi di un triangolo
Figura 1

Un triangolo possiede:

  • 3 vertici,
    indicati con le lettere maiuscole: A, B, C;
  • 3 lati,
    indicati con le lettere minuscole: a, b, c;
  • 3 angoli interni,
    indicati con le lettere greche: α, β, γ.

Ecco alcune proprietà basilari dei triangoli:

Proprietà dei lati
(disuguaglianza triangolare)

Ogni lato è sempre minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro differenza.


Proprietà dei vertici

Ogni vertice del triangolo corrisponde ad un angolo convesso; di questi 3 angoli convessi, 2 sono sicuramente acuti.

Osserviamo che tali proprietà sono abbastanza ovvie, o comunque ci si arriva facilmente con un piccolo ragionamento, infatti basta verificare che se non sono verificate non è possibile costruire alcun triangolo (provate ad esempio a costruirne uno che abbia un lato maggiore della somma degli altri due…).

Un triangolo possiede diversi altri elementi, oltre a lati, vertici e angoli interni; i più importanti sono:

  • gli angoli esterni sono gli angoli adiacenti agli angoli interni; ogni triangolo possiede 6 angoli esterni: ad ogni angolo interno corrispondono due angoli esterni tra loro opposti al vertice (quindi congruenti); tali angoli sono anch'essi convessi;
  • il perimetro (2p) di un triangolo è la somma delle misure delle lunghezze dei 3 lati;
  • l'area (A) di un triangolo è la misura della superficie del triangolo (ossia l'estensione della parte di piano interna al triangolo);
  • l'altezza (h) di un triangolo è ciascuno dei tre segmenti di perpendicolare che unisce un vertice al suo lato opposto;
  • la mediana (m) di un triangolo è ciascuno dei tre segmenti che unisce un vertice al punto medio del lato opposto;
  • la bisettrice (b) di un triangolo è ciascuno dei tre segmenti che parte da un vertice fino al lato opposto, dividendo l'angolo al vertice in due angoli congruenti;
  • l'asse (a) di un triangolo è ciascuno dei tre assi di simmetria dei lati del triangolo, ossia la perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio.

Per approfondire questi ultimi elementi, vedi le pagine sui punti notevoli.

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Criteri di congruenza


Due figure geometriche sono congruenti (o sovrapponibili) se hanno la stessa forma e la stessa dimensione; cioè se è possibile sovrapporre le due figure, in modo tale che combacino perfettamente.
In alcuni casi, ad esempio nei triangoli, è sufficiente verificare che solo alcuni elementi siano congruenti, per esser certi che le intere figure siano congruenti.

1° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti 2 lati e l'angolo fra di essi compreso, sono congruenti.

2° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti 2 angoli e il lato fra di essi compreso, sono congruenti.

3° CRITERIO DI CONGRUENZA
Due triangoli che hanno rispettivamente congruenti i 3 lati, sono congruenti.

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