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Figure principali - Figure secondarie - Poligoni regolari

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I poligoni regolari


Un poligono avente tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli interni congruenti tra loro è detto regolare; ogni poligono regolare gode delle seguenti proprietà:

  • ha tutti gli angoli esterni congruenti;
  • ha gli angoli esterni congruenti agli angoli al centro;
  • ha tutte le apoteme congruenti;
  • ha tutti i raggi congruenti;
  • è inscrivibile in una circonferenza;
  • è circoscrivibile in una circonferenza;

I poligoni regolari sono figure molto particolari, che riccorrono spesso sia nei problemi scolastici, sia nella vita quotidiana, soprattutto nelle opere artistiche.

Una scorciatoia aritmetica per il calcolo dell'apotema e dell'area di poligoni regolari sono i numeri fissi: ogni poligono regolare possiede due numeri fissi, che qui indichiamo con λn e φn: sono valori costanti, conoscendo i quali possiamo calcolare apotema e area partendo dalla lunghezza ℓ del lato (vedi le regole di seguito).

In generale, valgono le seguenti formule per calcolare le caratteristiche di un poligono regolare:

  • Poligono regolare di n lati di lato ℓ
  • Angolo al centro (*):   ω   =   360° / n
  • Angolo interno:   α   =   180° – ω
  • Num. fisso per l'apotema:   λn   =   ½ cotg (½ ω)
  • Num. fisso per l'area:   φn   =   ¼ n cotg (½ ω)
  • Apotema:   a   =   λn · ℓ
  • Raggio:   r   =   √¼ ℓ² + a²   =   ½ ℓ cosec (½ ω)
  • Altezza: [se n è pari]   h   =   2 a
  • Altezza: [se n è dispari]   h   =   a + r
  • Num. totale diagonali:   nd   =   ½ n(n – 3)
  • Diagonale maggiore: [se n è pari]   d   =   2 r
  • Diagonale maggiore: [se n è dispari]   d   =   √¼ ℓ² + h²
  • Perimetro:   2p   =   ℓ · n
  • Area:   A   =   p · a   =   φn · ℓ²

(*) Ricordiamo che per "angolo al centro" si intende l'angolo che si forma unendo due vertici consecutivi al centro del poligono.

Legenda:
: lughezza del lato
n : numero lati
ω : ampiezza angoli al centro
α : ampiezza angoli interni
λn : num. fisso per l'apotema
φn : num. fisso per l'area
a : lunghezza apoteme
r : lunghezza raggi

h : lunghezza altezze
nd : numero diagonali in totale
d : lunghezza diagonali maggiori
d1, d2, … : lungh. altre diagonali
2p : lunghezza perimetro
p : lunghezza semiperimetro
A : area

Applicando tali formule ad ogni poligono regolare, ottemiamo valori e formule personalizzate, per ogni figura; vediamo ora una classificazione dei principali poligoni regolari aventi lato ℓ assegnato:

TRIANGOLO EQUILATERO

  • n   =   3
  • ω   =   120°
  • α   =   60°
  • λ3   =   0,289…
  • φ3   =   0,433…
  • a   =   ⅙ ℓ √3
  • r   =   ⅓ ℓ √3
  • h   =   a + r   =   ½ ℓ √3
  • nd   =   0
  • A   =   ¼ ℓ² √3

triangolo equilatero
Triangolo equilatero
(3 lati)

QUADRATO

  • n   =   4
  • ω   =   90°
  • α   =   90°
  • λ4   =   0,5
  • φ4   =   1
  • a   =   ½ ℓ
  • r   =   ½ ℓ √2
  • h   =   ℓ
  • nd   =   2
  • d   =   ℓ √2
  • A   =   ℓ²

quadrato
Quadrato
(4 lati)

PENTAGONO REGOLARE

  • n   =   5
  • ω   =   72°
  • α   =   108°
  • λ5   =   0,688…
  • φ5   =   1,720…
  • a   =   ℓ √(5 + 2√5) / 20
  • r   =   ℓ √(5 + √5) / 10
  • h   =   a + r   =   ℓ √(5 + 2√5) / 2
  • nd   =   5
  • d   =   ½ ℓ (1 + √5)
  • A   =   ¼ ℓ² √(25 + 10√5)

pentagono regolare
Pentagono regolare
(5 lati)

ESAGONO REGOLARE

  • n   =   6
  • ω   =   60°
  • α   =   120°
  • λ6   =   0,866…
  • φ6   =   2,598…
  • a   =   ½ ℓ √3
  • r   =   ℓ
  • h   =   2 a   =   ℓ √3
  • nd   =   9   [3 maggiori]
  • d   =   2 r   =  2 ℓ
  • d1   =   ℓ √3
  • A   =   ½ ℓ² 3√3

esagono regolare
Esagono regolare
(6 lati)

ETTAGONO REGOLARE

  • n   =   7
  • ω   =   51° 25' 43"
  • α   =   128° 34' 17"
  • λ7   =   1,038…
  • φ7   =   3,634…
  • a   =   ½ ℓ cotg (180°/7)
  • r   =   ½ ℓ cosec (180°/7)
  • h   =   a + r  
  • nd   =   14   [7 maggiori]
  • d   =   √¼ ℓ² + h²
  • A   =   7 ℓ² cotg (180°/n) / 4

ettagono regolare
Ettagono regolare
(7 lati)

OTTAGONO REGOLARE

  • n   =   8
  • ω   =   45°
  • α   =   135°
  • λ8   =   1,207…
  • φ8   =   4,828…
  • a   =   ½ ℓ (1 + √2)
  • r   =   ½ ℓ √(4 + 2√2)
  • h   =   2 a   =   ℓ (1 + √2)
  • nd   =   20   [4 maggiori]
  • d   =   2 r   =   ℓ √(4 + 2√2)
  • d1   =   2 a   =   ℓ (1 + √2)
  • d2   =   ℓ √(2 + √2)
  • A   =   2 ℓ² (1 + √2)

ottagono regolare
Ottagono regolare
(8 lati)

ENNAGONO REGOLARE

  • n   =   9
  • ω   =   40°
  • α   =   140°
  • λ9   =   1,374…
  • φ9   =   6,182…
  • a   =   ½ ℓ cotg (20°)
  • r   =   ½ ℓ cosec (20°)
  • h   =   a + r  
  • n9   =   27   [9 maggiori]
  • d   =   √¼ ℓ² + h²
  • A   =   9 ℓ² cotg (20°) / 4

ennagono regolare
Ennagono regolare
(9 lati)

DECAGONO REGOLARE

  • n   =   10
  • ω   =   36°
  • α   =   144°
  • λ10   =   1,539…
  • φ10   =   7,694…
  • a   =   ½ ℓ √(5 + 2√5)
  • r   =   ½ ℓ (1 + √5)
  • h   =   2 a   =   ℓ √(5 + 2√5)
  • nd   =   35   [5 maggiori]
  • d   =   2 r   =   ℓ (1 + √5)
  • A   =   5 ℓ² √(5 + 2√5) / 2

decagono regolare
Decagono regolare
(10 lati)

DODECAGONO REGOLARE

  • n   =   12
  • ω   =   30°
  • α   =   150°
  • λ12   =   1,866…
  • φ12   =   11,196…
  • a   =   ½ ℓ (2 + √3)
  • r   =   ½ ℓ (√2 + √6)
  • h   =   2 a   =   ℓ (2 + √3)
  • nd   =   54   [6 maggiori]
  • d   =   2 r   =   ℓ (√2 + √6)
  • A   =   3 ℓ² (2 + √3)

dodecagono regolare
Dodacagono regolare
(12 lati)

ICOSAGONO REGOLARE

  • n   =   20
  • ω   =   18°
  • α   =   162°
  • λ20   =   3,157…
  • φ20   =   31,569…
  • a   =   ½ ℓ cotg (9°)
  • r   =   ½ ℓ cosec (9°)
  • h   =   2 a   =   ℓ cotg (9°)
  • nd   =   170   [10 maggiori]
  • d   =   2 r   =   ℓ cosec (9°)
  • A   =   5 ℓ² cotg (9°)

icosagono regolare
Icosagono regolare
(20 lati)

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