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CONTENUTO DELLA PAGINA
Gli anelli
Ideali
Anelli particolari
Gli anelli
Un Anello è un insieme molto più particolare di un gruppoide, in quanto possiede 2 diverse operazioni tra gli elementi. Più formalmente:
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Un anello è una terna ⟨A, +, •⟩, dove A è un insieme, mentre + e • sono operazioni binarie ben definite su A, tali che:
- ⟨A; +⟩ è un gruppo abeliano
- ⟨A; •⟩ è un semigruppo
- vale la proprietà distributiva di • rispetto a +
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L'operazione + è in genere chiamata (con molta fantasia...) addizione e l'operazione • moltiplicazione .
Un insieme A è un anello quindi se:
- l'addizione + è ben definita su A
- l'addizione gode delle proprietà associativa e commutativa
- esiste un elemento neutro per la addizione, chiamato
zero
- ogni elemento possiede un inverso rispetto all'addizione
- la moltiplicazione • è ben definito su A
- la moltiplicazione gode della proprietà associativa
- vale la proprietà distributiva:
- ∀ a, b, c ∈ A, si ha: a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
- ∀ a, b, c ∈ A, si ha: (b + c) • a = (b • a) + (c • a)
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Esempio 16. La terna ⟨ℕ, +, ×⟩ non è un anello: infatti, sebbene ⟨ℕ; ×⟩ sia un semigruppo, ⟨ℕ; +⟩ non è un gruppo.
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Esempio 17. Al contrario la terna ⟨ℤ, +, ×⟩ è un anello: infatti ⟨ℤ; +⟩ è un gruppo abeliano e ⟨ℤ; ×⟩ è un monoide, quindi un semigruppo.
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Esempio 18. Consideriamo il gruppo ciclico ⟨ℤ5, ⊕⟩ visto nell'esempio 9 di pagina precedente, e aggiungiamo la moltiplicazione ciclica ⊗ in modo analogo all'altra operazione:
a ⊗ b = (a · b) mod (5)
La terna ⟨ℤ5, ⊕, ⊗⟩ è un anello: infatti ⟨ℤ6, ⊕⟩ è un gruppo abeliano e ⟨ℤ6, ⊗⟩ è un semigruppo.
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Esempio 19. Sia P(x) l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali nella lettera x, + la somma e • il prodotto tra due polinomi.
La coppia ⟨P(x); +⟩ è un gruppo abeliano, per quanto visto prima, mentre ⟨P(x); •⟩ è un semigruppo, in quanto • è ben definita (il prodotto tra due polinomi è sempre un polinomio) e associativa su P(x).
Di conseguenza la terna ⟨P(x), +, •⟩ è un anello.
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Ideali
Sia ⟨A, +, •⟩ un anello e sia B un sottoinsieme di A. Se B è chiuso rispetto alle operzioni + e • con qualsiasi elemento dell'anello, allora è chiamato ideale di A, e si scrive A < B.
Ossia:
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B è un ideale di ⟨A, +, •⟩ se e solo se:
- B è un sottogruppo del gruppo ⟨A; +⟩;
- per ogni b ∈ B e a ∈ A si ha che a • b ∈ B.
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Un ideale B di A può esser:
- proprio, se esistono elementi di A che non appartengono a B (se B è proprio, non può contenere l'unità);
- massimale, se è il più grande tra tutti gli ideali propri di A;
- primo, se ogni elemento di a possiede nella sua scomposizione in fattori sempre almeno un elemento di B;
- principale, se è generato da un solo elemento.
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Anelli particolari
Un anello ⟨A, +, •⟩ può esser:
Commutativo , se anche il prodotto gode della proprietà commutativa.
Unitario , se esiste un elemento neutro anche per la moltiplicazione, o unità , ossia se ⟨A; •⟩ è un monoide.
Dominio di integrità , se non esistono divisori dello zero non banali, ossia non esistono elementi a, b diversi da 0 ma tali che a • b = 0.
A fattorizzanzione unica (abbreviato: UFA), se la scomposizione ad elementi primi è unica (non vi sono più risultati possibili): osseriamo che se l'anello è unitario, un generico elemento si può sempre fattorizzare, ma non sempre la fattorizzazione non è banale, in altri casi può possedere diverse fattorizzazioni che non hanno nulla a che vedere tra loro!
Euclideo se è possibile applicare l'algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore.
Corpo è un particolare anello ⟨A, +, •⟩ tale che ⟨A*; •⟩ è un gruppo (ricordo che A* è A senza lo zero); un classico esempio di corpo è l'insieme dei quaternioni, un'estensione dei numeri complessi.
Campo , una delle strutture algebriche più utili della matematica: un campo è un corpo in cui anche il prodotto gode della proprietà commutativa, ossia se ⟨A*; •⟩ è un gruppo abeliano.
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Esempio 20. Ecco alcuni casi di anelli particolari.
L'anello degli interi ⟨ℤ, +, ×⟩ è un dominio di integrità, mentre il gruppo ciclico di ordine 6, ⟨ℤ6, ⊕, ⊗⟩ non lo è. Infatti ℤ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, e 2 ⊗ 3 = (6) mod (6) = 0, nonostante nessuno dei due fattori sia nullo!
Consideriamo l'anello ⟨ℤ10, ⊕, ⊗⟩. Osserviamo che 3 ⊗ 3 = 9, ma anche 7 ⊗ 7 = 9, quindi il 9 possiede due fattorizzazioni completamente diverse tra loro; di conseguenza tale anello non è un UFA.
Negli anelli numerici classici (interi, razionali, reali...) non vi sono queste ambiguità per cui sono tutti a fattorizzazione unica.
Esempi di campi sono gli insiemi numerici dei razionali ⟨ℚ, +, ×⟩, dei reali ⟨ℝ, +, ×⟩ e dei complessi ⟨ℂ, +, ×⟩.
Per quanto riguarda gli anelli ciclici, un anello ⟨ℤn, ⊕, ⊗⟩ è un campo se e solo se n è un numero primo (ad esempio ℤ2, ℤ3, ℤ5, e così via).
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Gli anelli Euclidei sono casi particolari di UFA e di domini di integrità. Vale infatti la regola:
Per quanto riguarda i campi, ecco alcune loro proprietà importanti:
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Proprietà dei campi
- la caratteristica di un campo, o è zero o è un numero primo;
- un campo che non abbia infiniti elementi, allora ne possiede un numero del tipo pn, dove p è un numero primo;
- un campo non possiede ideali non banali: gli unici ideali che possono esserci sono quello nullo {0} e il campo stesso.
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La nozione di campo si applica anche in fisica e nelle altre scienze (es: campo vettoriale, campo gravitazionale, campo elettromagnetico, ecc.).
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