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Introduzione - Gruppoidi - Gruppi - Anelli

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Gli anelli


Un Anello è un insieme molto più particolare di un gruppoide, in quanto possiede 2 diverse operazioni tra gli elementi. Più formalmente:

Un anello è una terna ⟨A, +, •⟩, dove A è un insieme, mentre + e • sono operazioni binarie ben definite su A, tali che:

  • ⟨A; +⟩ è un gruppo abeliano
  • ⟨A; •⟩ è un semigruppo
  • vale la proprietà distributiva di • rispetto a +

L'operazione + è in genere chiamata (con molta fantasia...) addizione e l'operazione • moltiplicazione.
Un insieme A è un anello quindi se:

  1. l'addizione + è ben definita su A
  2. l'addizione gode delle proprietà associativa e commutativa
  3. esiste un elemento neutro per la addizione, chiamato zero
  4. ogni elemento possiede un inverso rispetto all'addizione
  5. la moltiplicazione • è ben definito su A
  6. la moltiplicazione gode della proprietà associativa
  7. vale la proprietà distributiva:
    • ∀ a, b, c ∈ A, si ha: a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
    • ∀ a, b, c ∈ A, si ha: (b + c) • a = (b • a) + (c • a)

Esempio 15.

La terna ⟨, +, ×⟩ non è un anello: infatti, sebbene ⟨; ×⟩ sia un semigruppo, ⟨; +⟩ non è un gruppo.


Esempio 16.

Al contrario la terna ⟨, +, ×⟩ è un anello: infatti ⟨; +⟩ è un gruppo abeliano e ⟨; ×⟩ è un monoide, quindi un semigruppo.


Esempio 17.

Consideriamo il gruppo ciclico ⟨6, ⊕⟩ visto nell'esempio 8 di pagina precedente, aggiungiamo la moltiplicazione ciclica ⊗ in modo analogo all'altra operazione:

a ⊗ b = (a · b) mod (6)

La terna ⟨6, ⊕, ⊗⟩ è un anello: infatti ⟨6, ⊕⟩ è un gruppo abeliano e ⟨6, ⊗⟩ è un semigruppo.


Esempio 18.

Sia P(x) l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali nella lettera x, + la somma e • il prodotto tra due polinomi.
La coppia ⟨P(x); +⟩ è un gruppo abeliano, per quanto visto prima, mentre ⟨P(x); •⟩ è un semigruppo, in quanto • è ben definita (il prodotto tra due polinomi è sempre un polinomio) e associativa su P(x).
Di conseguenza la terna ⟨P(x), +, •⟩ è un anello.

Proprietà degli anelli


Sia ⟨A, +, •⟩ un anello e sia B un sottoinsieme di A. Se B è chiuso rispetto alle operzioni + e • con qualsiasi elemento dell'anello, allora è chiamato ideale di A, e si scrive A < B.
Ossia:

B è un ideale di ⟨A, +, •⟩ se e solo se:

  1. B è un sottogruppo del gruppo ⟨A; +⟩;
  2. per ogni b ∈ B e a ∈ A si ha che a • b ∈ B.

Un ideale B di A può esser:

  • proprio, se esistono elementi di A che non appartengono a B (se B è proprio, non può contenere l'unità);
  • massimale, se è il più grande tra tutti gli ideali propri di A;
  • primo, se ogni elemento di a possiede nella sua scomposizione in fattori sempre almeno un elemento di B;
  • principale, se è generato da un solo elemento.

Anelli particolari


Un anello ⟨A, +, •⟩ può esser:

  • commutativo, se anche il prodotto gode della proprietà commutativa;
  • unitario, se esiste un elemento neutro anche per la moltiplicazione, o unità, ossia se ⟨A; •⟩ è un monoide;

Un anello è chiamato dominio di integrità, se non esistono divisori dello zero non banali, ossia non esistono elementi a, b diversi da 0 ma tali che a • b = 0; ad esempio l'anello degli interi ⟨, +, ×⟩ è un dominio di integrità, mentre il gruppo ciclico di ordine 6, ⟨6, ⊕, ⊗⟩ non lo è.
Infatti 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, e 2 ⊗ 3 = (6) mod (6) = 0, nonostante nessuno dei due fattori sia nullo!

Un anello è detto a fattorizzanzione unica (UFA), se la scomposizione ad elementi primi è unica (non vi sono più risultati possibili): osseriamo che se l'anello è unitario, un generico elemento si può sempre fattorizzare, ma non sempre la fattorizzazione non è banale, in altri casi può possedere diverse fattorizzazioni che non hanno nulla a che vedere tra loro!
Ad esempio in ⟨10, ⊕, ⊗⟩, osserviamo che 3 ⊗ 3 = 9, ma anche 7 ⊗ 7 = 9, quindi il 9 possiede due fattorizzazioni completamente diverse tra loro. Negli anelli numerici classici (interi, razionali, reali...) non vi sono queste ambiguità per cui sono tutti a fattorizzazione unica.

In particolare un anello è euclideo se è possibile applicare l'algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore. Vale inoltre la regola:

Anello euclideo   ⇒   anello a fattorizzazione unica   ⇒   dominio di integrità   ⇒   anello commutativo.

Un corpo è un particolare anello ⟨A, +, •⟩ tale che ⟨A*; •⟩ è un gruppo (ricordo che A* è A senza lo zero); un classico esempio di corpo è l'insieme dei quaternioni, un'estensione dei numeri complessi.

Se in un corpo anche il prodotto gode della proprietà commutativa, ossia se ⟨A*; •⟩ è un gruppo abeliano, allora si parla di campo, una delle strutture algebriche più utili della matematica.
In matematica esempi di campi sono gli insiemi numerici dei razionali ⟨, +, ×⟩, dei reali ⟨, +, ×⟩ e dei complessi ⟨, +, ×⟩.
Per quanto riguarda gli anelli ciclici, un anello ⟨n, ⊕, ⊗⟩ è un campo se e solo se n è un numero primo (ad esempio 2, 3, 5, e così via).
Ecco alcune proprietà dei campi:

  1. la caratteristica di un campo, o è zero o è un numero primo;
  2. un campo che non abbia infiniti elementi, allora ne possiede un numero del tipo pn, dove p è un numero primo;
  3. un campo non possiede ideali non banali:
    gli unici ideali che possono esserci sono quello nullo {0} e il campo stesso;

La nozione di campo si applica anche in fisica e nelle altre scienze (es: campo vettoriale, campo gravitazionale, campo elettromagnetico, ecc.).

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