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Introduzione - Gruppoidi - Gruppi - Anelli

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I gruppi


Se un quasigruppo è anche un semigruppo, allora è automaticamente unitario. In tal caso si parla di gruppo.

Un gruppo è un semigruppo in cui valgano gli assiomi dei quozienti,
o equivalentemente è un quasigruppo con la proprietà associativa.

In un gruppo ⟨A; •⟩ definiamo inverso di un elemento a di A, quell'elemento b di A tale che a • b = u. Usando la notazione esponeziale, l'inverso di un elemento a si indica con a-1, infatti: a • a-1 = u

In genere si può riassumere la definizione di gruppo dicendo che:

Un gruppoide ⟨A; •⟩ è un gruppo se e solo se: a • b-1 ∈ A per ogni a, b ∈ A,

L'inverso di un elemento esiste sempre, in quanto in un gruppo valgono gli assiomi dei quozienti; inoltre è più comodo (e utile) parlare di inversi di elementi piuttosto che di operazione inversa.

Esempio 6.

Il gruppoide ⟨, +⟩ è un semigruppo, in quanto l'addizione è associativa; è anche un monoide essendo unitario (lo zero appartiene a ), ed infine è un quasigruppo, in quanto possiamo fare senza problemi l'operazione inversa (la sottrazione): l'inverso di un numero intero è il suo opposto.
Di conseguenza ⟨, +⟩ è un gruppo.


Esempio 7.

Sia * l'insieme dei numeri razionali senza lo zero. Il gruppoide ⟨*, ×⟩, è un gruppo, infatti la moltiplicazione tra due numeri razionali è sempre un numero razionale, e inoltre è associativa. Possiede un elementro neutro, 1, e ogni numero razionale (escluso appunto lo zero) possiede un inverso.
Ad esempio 2 e 0,5 sono inversi tra loro, in quanto 2 × 0,5 = 1; perciò dividere un numero per 2 equivale a moltiplicarlo per 0,5.
Qual è il vantaggio di usare gli elementi inversi? è che così usiamo una sola operazione invece che due, usando sempre lo stesso numero di elementi.


Esempio 8.

Sia n, l'insieme dei numeri interi da 0 a n−1. Ad esempio A = 5 = {0, 1, 2, 3, 4}.
Definiamo la seguente operazione tra due elementi di A:

a ⊕ b = (a + b) mod (5)

ossia la somma "ciclica" di questi numeri, come accade alle ore dell'orologio: 4 ⊕ 1 = 0; 3 ⊕ 3 = 1; e così via.
La coppia ⟨A; ⊕⟩ è un gruppo, infatti:

  • l'opeazione ⊕ è ben definita: la somma di due numeri di Z5 è sempre un numero di 5;
  • ⊕ è associativa, poiché deriva dall'addizione tra numeri;
  • esiste l'elemento neutro, il numero 0;
  • esiste l'inverso (rispetto a ⊕) si ogni numero: 0 ha come inverso se stesso, mentre un generico numero x ha come inverso il numero 5 − x.

Questo gruppo è chiamato gruppo ciclico di ordine 5. In generale il gruppo ciclico n ha ordine n.

Proviamo a dare esempi di gruppi che non siano formati da un normale insieme numerico

.

Esempio 9.

Sia P(x) l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali di qualunque grado nella lettera x, e sia + la normale operazione di addizione tra polinomi: la somma di due polinomi è un polinomio avente per monomi tutti i monomi dei polinomi iniziale; eventuali monomi simili possono essere sommati tra loro.

La coppia ⟨P(x), +⟩ è un gruppo, chiamato gruppo dei polinomi nella lettera x, infatti:

  • l'opeazione + è ben definita: la somma di due polinomi è sempre un polinomio;
  • + è associativa su P(x);
  • esiste l'elemento neutro: il polinomio formato dal solo 0;
  • esiste l'inverso (rispetto a +) si ogni polinomio: quello avente tutti i segni invertiti rispetto al primo.

Esempio 10.

Consideriamo un esagono regolare e tutte le possibili trasformazioni rigide (isometriche) che, applicate all'esagono, lo trasformano in se stesso (salvo cambiamento delle lettere).
Tali trasformazioni possono essere di 3 tipi:

  • l'identità
  • rotazioni di 60° (o multipli) intorno al centro dell'esagono
  • simmetrie rispetto ad un asse dell'esagono

Chiamiamo D6 l'insieme di tutte queste trasformazioni, e sia ∘ l'operazione di composizione tra due trasformazioni: la composizione consiste nell'eseguire due trasformazioni una dopo l'altra.

Chiamiamo quindi l'identità con la lettera I (l'identità è l'elemento neutro per la composizione ∘), la rotazione in senso anti-orario di 60° con la lettera R, e la simmetria rispetto ad un asse, ad esempio quello verticale, con la lettera S.
Quindi ad esempio R∘R, che possiamo scrivere anche R2, corrisponde ad una rotazione di 120°, mentre R5 è una rotazione di 300°; R∘S è una rotazione di 60° seguita da una simmetria. In particolare:

  • R6 = I, ossia una rotazione di 360° non cambia la disposizione delle lettere
  • S2 = I, ossia la successione di 2 simmetrie sullo stesso asse, non cambia la disposizione delle lettere
  • R∘S ≠ S∘R, quindi la composizione non è commutativa
  • vale la regola: Rn∘S = S∘R6−n per un qualunque n da 0 a 5

Facendo tutte le composizioni possibili, otteniamo 12 diversi elementi, perciò 12 possibili trasformazioni che trasformano l'esagono i se stesso:

D6 = {I, R, R2, R3, R4, R5, R2∘S, R3∘S, R4∘S, R5∘S }

Per una descrizione di questi 12 elementi, visualizza il file pdf sul gruppo diedrale, cliccando qui.
La coppia ⟨D6; ∘⟩ è un gruppo, ed è chiamato gruppo diedrale di ordine 6.

Sottogruppi e classi laterali


Dato un gruppo generico ⟨A; •⟩, un sottoinsieme B di A è un sottogruppo di A se la coppia ⟨B; •⟩ è anch'essa un gruppo.
Se B è un sottogruppo di A si scrive: B < A.

Osservazione: si usa il simbolo < al posto di ⊂ per indicare che un sottogruppo non è un qualunque sottoinsieme, ma che gode di proprità particolari. Un sottogruppo infatti è una restrizione degli elementi dell'insieme iniziale che conserva le propriet√† della medesima operazione del gruppo.

Esempio 11.

Il gruppo ⟨; +⟩ ha come sottogruppo ad esempio ⟨2ℤ; +⟩, essendo 2ℤ l'insieme degli interi pari (0, 2, 4, -2, -4, ecc.). Al contrario ⟨2ℤ+1, +⟩ non è un sottogruppo di ⟨; +⟩, (essendo 2ℤ+1 l'insieme degli interi dispari), in quanto non è neanche un gruppoide.


Esempio 12.

La coppia ⟨+; +⟩ è un gruppoide, essendo + l'insieme dei numeri naturali più lo zero; tuttavia non è un gruppo, in quanto gli elementi non possiedono inversi, quindi non è un sottogruppo di ⟨; +⟩.

Consideriamo quindi un gruppo generico ⟨A; •⟩ e un suo sottogruppo ⟨B; •⟩.
Preso un qualunque elemento a di A, possiamo definire due insiemi:

  • aB = {a • b, ∀ b ∈ B}, chiamata classe laterale sinistra di B rispetto ad a;
  • Ba = {b • a, ∀ b ∈ B}, chiamata classe laterale destra di B rispetto ad a.

Sebbene questi insiemi siano molto importanti e anche molto comuni, tale definizione non è tra le più intuitive. Vediamo qualche esempio che ne faciliti la comprensione.

Esempio 13.

Consiederiamo il gruppo ⟨A; +⟩ essendo A = , e il sottogruppo ⟨B; +⟩, essendo B = 5ℤ, l'insieme di tutti i numeri interi divisibili per 5, cioè: B = (0, 5, 10, 15, 20, ..., -5, -10, -15, -20, ...).
Consideriamo un elemento a caso x del gruppo iniziale, ad esempio x = 2; cerchiamo la classe laterale destra formata da ⟨B; +⟩ rispetto a 2. Secondo la definizione:

  • Bx = {b + 2, ∀ b ∈ 5ℤ}, ossia l'insieme {2, 7, 12, 17, 22, ..., -3, -8, -13, -18, ...}

Esempio 14.

Consiederiamo ora il gruppo ⟨A; ×⟩ con A = ℚ* e il sottogruppo ⟨B; ×⟩, essendo B = {2k}, l'insieme di tutte le potenze di 2, con esponente intero: B = {1, 2, 4, 8, 16, ..., 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }.
Consideriamo un elemento a caso y del gruppo iniziale, ad esempio y = 3; cerchiamo la classe laterale sinistra formata da ⟨B; ×⟩ rispetto a 3. Secondo la definizione:

  • yB = {3 × b, ∀ b ∈ {2k} }, ossia l'insieme {3, 6, 12, 24, 48, ..., 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, ... }

Osserviamo che in questi esempi la classe laterale destra è uguale alla classe laterale sinistra: se un sottogruppo B di A ha questa proprietà è chiamato sottogruppo normale, e per evidenziare questa situazione si scrive B ⊲ A.
Nel caso di gruppi abeliani, come ad esempio ⟨; +⟩, ogni sottogruppo gode di questa proprietà, per cui ogni sottogruppo è normale.

In generale una classe laterale può esser vista come una traslazione degli elementi del sottogruppo, in un nuovo insieme, che in genere non è un sottogruppo (ad esempio non è detto che vi sia l'elemento neutro), ma un semplice sottoinsieme del gruppo di partenza.
Nel caso la classe laterale sia "traslata" rispetto all'unità allora si riottiene il sottogruppo scelto.

Ecco alcune delle più importanti proprietà delle classi laterali:

Una classe laterale rispetto ad un elemento del sottogruppo coincide con il sottogruppo;

una classe laterale rispetto ad un elemento di un'altra classe laterale, coincide con quest'ultima;

due classi laterali che non siano coincidenti, allora non hanno alcun elemento in comune.

In paricolare:

L'insieme delle classi laterali (destre o sinistre) di un gruppo forma una partizione del gruppo: ogni elemento del gruppo appartiene ad una classe laterale, e ad una soltanto.

Nel primo esempio dei due precedenti, con il gruppo ⟨; +⟩ e il sottogruppo ⟨5ℤ; +⟩, le classi laterali destre sono:

  • x = 0 → Bx = 5ℤ = {0, 5, -5, 10, -10, 15, -15, …}
  • x = 1 → Bx = 5ℤ+1 = {1, 6, -6, 11, -11, 16, -16, …}
  • x = 2 → Bx = 5ℤ+2 = {2, 7, -7, 12, -12, 17, -17, …}
  • x = 3 → Bx = 5ℤ+3 = {3, 8, -8, 13, -13, 18, -18, …}
  • x = 4 → Bx = 5ℤ+4 = {4, 9, -9, 14, -14, 19, -19, …}

Come si può osservare, ogni numero intero ha la sua classe laterale di appartenenza e non c'è ambiguità; eventuali altre classi laterali coincidono con queste elencate, ad esempio 5Z+8 = 5Z+3, in quanto possiedono gli stessi elementi.

L'insieme formato dalle diverse partizioni create dal sottogruppo B di A è chiamato gruppo quozione, e si indica con A ⁄ B.
Nell'esempio:

5ℤ = {[5ℤ], [5ℤ+1], [5ℤ+2], [5ℤ+3], [5ℤ+4]}


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