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Introduzione - Gruppoidi - Gruppi - Anelli

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Operazioni tra elementi di un insieme


Dato un insieme A, è possibile definire una operazione binaria tra gli elementi di un insieme. Cos'è un'operazione binaria?
È una particolare relazione tra gli elementi di A, che associa una coppia di elementi di A con un nuovo elemento di A.

Ad esempio se A è l'insieme dei numeri naturali, possiamo considerare l'operazione di addizione (+), che associa a due numeri naturali un altro numero, che corrisponde alla loro somma:
la coppia (1, 4) è in relazione con (5)
la coppia (3, 7) è in relazione con (10)
la coppia (20, 2) è in relazione con (22)
la coppia (2, 6) non è in relazione con (3)
...e così via.
In generale, data una coppia di numeri è sempre possibile trovare il numero da associare alla coppia.

Nel caso di una generica operazione binaria tra gli elementi di A, essa verrà chiamata prodotto, e verrà indicata con il simbolo • ; gli elementi della coppia sono detti fattori e il terzo elemento è chiamato risultato o prodotto dei fattori.
Questa notazione riprende la normale operazione di moltiplicazione tra numeri, in quanto questa è un buon esempio di come si comporta un'operazione binaria.
In queste pagine quindi quando si parlerà di prodotto (•), ci si riferirà ad una qualunque operazione binaria.

A seconda delle proprietà del prodotto tra gli elementi di un insieme, possiamo avere insiemi particolari, o strutture algebriche.

I gruppoidi


Il caso più semplice di struttura algebrica è un insieme A su cui è definito un prodotto • senza proprietà particolari; le uniche condizioni sono che A non sia vuoto e che ad ogni coppia di elementi (a, b), si possa sempre associare un terzo elemento c tale che a • b = c.
In questo caso la coppia (A; •) è chiamata gruppoide. Quindi:

Un gruppoide è una coppia ⟨A; •⟩ avente come primo elemento (A) un insieme non vuoto e come secondo elemento (•) una operazione binaria ben definita su tale insieme.

Un gruppoide può esser:

  • commutativo, o abeliano, se il prodotto gode della proprietà commutativa;
  • unitario, se esiste un elemento neutro o unità per il prodotto, indicata con u o con 1.
  • additivo, se il prodotto definito è l'operazione di addizione tra numeri (quindi è sia abeliano che unitario);
  • moltiplicativo, se il prodotto definito è l'operazione di moltiplicazione tra numeri (quindi è sia abeliano che unitario);

Osservazione: se il gruppoide non è abeliano, può accadere che un elemento del gruppoide si comporti da elemento neutro solo se posto a sinistra (o a destra) del segno d'operazione: ad esempio se consideriamo la sottrazione, lo zero è un elemento neutro solo se sta a destra del segno −, altrimenti no.
Tuttavia in ogni caso non possono esistere due elementi neutri diversi (uno a destra e uno a sinistra), può esistere al massimo un solo elemento neutro.
(Infatti, se per assurdo ce ne fossero due, si dimostra che devono per forza essere uguali tra loro).

Esempio 1. Sono tantissimi gli esempi che possiamo fare di gruppoide, in quanto è sufficiente considerare un insieme con un'operazione binaria.
Eccone alcuni:

  • ; +⟩, ossia l'insieme dei numeri naturali con l'operazione di addizione, è un gruppoide additivo;
  • ; ×⟩, ossia l'insieme dei naturali con l'operazione di moltiplicazione, è un gruppoide moltiplicativo;
  • ; +⟩, ossia l'insieme dei numeri interi con l'operazione di addizione, è un gruppoide additivo;
  • ; −⟩, ossia l'insieme degli interi con l'operazione di sottrazione, è un gruppoide unitario (non abeliano);
  • ; ×⟩, ossia l'insieme degli interi con l'operazione di moltiplicazione, è un gruppoide moltiplicativo;

Viceversa non sono gruppoidi:

  • ; −⟩, ossia l'insieme dei naturali con l'operazione di sottrazione;
  • ; ÷⟩, ossia l'insieme dei naturali con l'operazione di divisione;
  • ; ÷⟩, ossia l'insieme degli interi con l'operazione di divisione;

in quanto l'operazione non è ben definita.

L'insieme dei generatori di un gruppoide è l'insieme degli elementi che da soli formano tutti gli elementi del gruppoide, applicando più volte su se stessi il prodotto definito.

Esempio 2.

Il gruppoide ⟨; +⟩ ha come insieme dei generatori solo {1}: sommando più volte l'unità possiamo ottenere qualunque numero naturale, ad esempio:

  • 2 = 1 + 1
  • 3 = 1 + 1 + 1
  • ...
  • 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
  • ...

Esempio 3.

Il gruppoide ⟨; ×⟩ ha come insieme dei generatori l'insieme dei numeri primi più l'unità: ogni numero naturale diverso da 1 può esser ottenuto da una moltiplicazione di uno o più numeri primi:

  • 2 = 2
  • 3 = 3
  • 4 = 2 × 2
  • 5 = 5
  • 6 = 2 × 3
  • 7 = 7
  • 8 = 2 × 2 × 2 × 2
  • 9 = 3 × 3
  • ...

Gruppoidi particolari


Un gruppoide può esser associativo se il prodotto gode della proprietà associativa, ovvero:
per ogni a, b, c ∈ A: (a • b) • c = a • (b • c)
ossia se non è importante l'ordine con cui svolgere i calcoli. In tal caso il gruppoide è chiamato semigruppo.

gruppoidi
Figura 1

Un semigruppo unitario è chiamato monoide.
I monoidi sono strutture algebriche molto importanti, utilizzati oltre che in algebra anche in informatica e nella teoria dei codici, in quanto l'operazione definita in un monoide ha proprietà molto particolari.

Inoltre in un gruppoide possono valere gli assiomi dei quozienti, se il prodotto gode della seguente proprietà:
per ogni a, b ∈ A esistono due elementi x e y unici e tali che
a • x = b
y • a = b
ossia se è possibile definire l'operazione inversa del prodotto •.
In tal caso un normale gruppoide in cui valgono tali assiomi è chiamato quasigruppo.

Un quasigruppo unitario è detto cappio o loop. In figura 1 è rappresentata la classificazione dei gruppoidi appena vista.


Esempio 4.

Il gruppoide ⟨, +⟩ è un semigruppo, in quanto l'addizione è associativa; tuttavia non è un monoide in quanto non è unitario (lo zero non appartiene a ...) e nemmeno un quasigruppo, in quanto non sempre possiamo fare l'operazione inversa (la sottrazione).


Esempio 5.

Il gruppoide ⟨, ×⟩ è un semigruppo, in quanto la moltiplcazione è associativa; è anche un monoide essendo unitario (l'uno appartiene a ), ma non è un quasigruppo, in quanto non sempre possiamo fare l'operazione inversa (la divisione).

Se un quasigruppo è anche un semigruppo, allora è automaticamente unitario. In tal caso si parla di gruppo.


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