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INTEGRAZIONE DI FRAZIONI

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Introduzione
Denominatore di I grado
Denominatore di II grado
Δ > 0   ♦   Δ = 0   ♦   Δ < 0

Introduzione

Occorre fare un discorso a parte per le funzioni razionali fratte, in quanto nella maggior parte dei casi possono esser integrate senza troppe difficoltà, a patto di semplificarle il più possibile, riconducendoci ad una delle regole viste in precedenza.
Dando un'occhiata alle varie regole di derivazione e di integrazione, ci accorgiamo che sono pochi i casi di funzioni che possono avere come derivata una funzione razionale fratta, in particolare le possibili funzioni primitive sono tre:

1. il logaritmo (naturale):
   ⇒   D[𝓁𝓃(x)] = 1 ⁄ x
2. la potenza con esponente negativo:
   ⇒   D[x ⁻ⁿ] = −(n + 1) ⁄ x ^{n + 1},   con n > 0
3. l'arcotangente o l'arcotangente:
   ⇒   D[arctan(x)] = 1 ⁄ (1 + x²)
   ⇒   D[arccot(x)] = − 1 ⁄ (1 + x²)

Queste funzioni elencate sopra sono elementari: molto più spesso abbiamo a che fare con funzioni composte.
In ogni caso il punto di partenza è studiare bene la funzione integranda, per capire se possiamo ricondurci ad uno dei tre casi; è importante quindi inquadrare queste tre regole dal punto di vista integrale, in questo modo:

Per semplicità studiamo il caso in cui l'argomento g(x) sia un semplice polinomio, tuttavia possono capitare casi in cui g(x) sia una funziono qualunque.

Consideriamo quindi d'ora in avanti la funzione integranda formata da un polinomio numeratore n(x) e un polinomio denominatore d(x); da una prima osservazione, si capisce una prima importante caratteristica che accomuna i tre casi: in ognuna delle tre funzioni integrande il grado di n(x) è minore del grado di d(x).

Di conseguenza il primo passo per studiare un integrale di questo tipo è scrivere la frazione come somma di frazioni più semplici in cui il grado del numeratore sia minore di quello del denominatore, più eventualmente funzioni intere.
Questa operazione può sempre essere eseguita, a volte in modo immediato e intuitivo, altre volte per mezzo utilizzando l'algoritmo di divisione tra polinomi (vedi qui), operando la divisione tra n(x) e d(x).
Tale algoritmo infatti permette di "smontare" il polinomio numeratore nel seguente modo:

n(x) = q(x) · d(x) + r(x)

Dove q(x) è il quozionte della divisione, e r(x) il resto, ossia quello che avanza, che non si può dividere perchè troppo piccolo.

Dopo aver applicato questa modifica, la frazione si può scrivere in modo per noi più comodo:

Questo è molto utile, in quanto ricordiamo che l'integrale di una somma tra due funzione corrisponde alla somma dei singoli integrali:

Il termine q(x) essendo un semplice polinomio, può esser integrato facilmente; la frazione rimanente ha il numeratore di grado inferiore a quello del denominatore, quindi può esser ricondotta ad uno dei casi elencati prima.

Vediamo adesso come gestire la frazione r(x) ⁄ d(x), nel caso in cui il denominatore sia di primo o di secondo grado.

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Denominatore di I grado

Consideriamo l'integrale di una frazione avente il denominatore d(x) come polinomio di primo grado; il nostro fine è applicare la prima regola, quella che ci permette di ottenere il logaritmo naturale del modulo del denominatore.
È necessario quindi che il numeratore sia la derivata del denominatore: dal momento che d(x) è di primo grado, la derivata deve esser un numero.

Osserviamo che il numeratore presente r(x) è di grado inferiore a d(x), di grado zero, quindi in effetti è già un semplice numero, una costante; se siamo fortunati r(x) = d'(x) allora non dobbiamo fare nulla, possiamo applicare subito la regola dell'integrale che fornisce come risultato il logaritmo naturale del denominatore.
Se invece r(x) ≠ d'(x), possiamo comunque aggiustare le cose, moltiplicando la funzione integranda per d'(x) ⁄ r(x) e fuori dall'integrale per r(x) ⁄ d'(x).

Semplificando gli r(x) dentro l'integrale, otteniamo quello che volevamo:

La regola generale di integrazione di una frazione con numeratore numerico e denominatore di primo grado è:

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Denominatore di II grado

Consideriamo ora il caso in cui la frazione abbia il denominatore di secondo grado:

d(x) = ax² + bx + c

Il questo caso occorre uno studio più approfondito: per prima cosa, come sempre, abbassiamo di grado il numeratore operando una divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo un resto r(x) al massimo di primo grado; poi controlliamo che il numeratore non sia la derivata del denominatore (altrimenti la risoluzione è immediata).

dove il termine q(x) si integra senza problemi.
A questo punto per poter procedere abbiamo tre vie da poter seguire, in base al tipo di denominatore.
Per capire quale via intraprendere, dobbiamo analizzare il denominatore, studiando se è possibile scomporlo in fattori; questo si può fare facilmente studiando il Delta del polinomio:

Δ = b² − 4ac

Ovviamente ci sono situazioni in cui si capisce al volo la natura di un polinomio (vedi la sezione sulla scomposizione dei polinomi), e in tal caso lo studio del Delta è facoltativo; l'importante è capire in quale situazione ci troviamo.
Vediamo in dettaglio i tre casi possibili, a seconda del risultato del Delta.

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1° Caso: Δ > 0

Il caso più frequente è quello di un denominatore di secondo grado con Delta positivo, quindi che si può scomporre in due fattori di primo grado distinti: ad esempio potrebbe esser la differenza tra due quadrati, o un trinomio speciale.
Nel caso in cui non si riesca ad individuare al volo la scomposizione, è sufficiente trovare gli zeri del poliniomio tramite un'equazione associata, e da questi ricavare la scompozione secondo la regola:

essendo x₁ e x₂ gli zeri del poliniomio, che si possono ottenere anche con la formula risolutiva; per comodità il coefficiente a può esser moltiplicato per una delle due parentesi in modo da ottenere esattamente due fattori distinti di primo grado, ad esempio:

• f₁(x) = a(x − x₁)
• f₂(x) = (x − x₂)

d(x) = f₁(x) f₂(x)

A questo punto entra in gioco un ragionamento algebrico un po' articolato: l'obiettivo è spezzare la frazione originale in una somma di due frazioni più piccole, aventi numeratori numerici A e B, e denominatori f₁ ed f₂: in pratica facciamo il passaggio inverso di quando calcoliamo il mcm. per svolgere la somma tra due frazioni.

Come si determinano i numeri A e B? confrontando le due espressioni; il metodo più semplice è quello di rifare il mcm e sommare le due frazioni a destra, svolgere i calcoli, e confrontare solo i numeratori:

r(x) = A f₂(x) + B f₁(x)

e confrontare separatamente i termini di primo grado e i termini noti di entrambi i membri (in caso facendo un sistema) per determinare i valori di A e B corretti.

Una volta determinati A e B il più è fatto: abbiamo ottenuto due frazioni semplici, con denominatori di primo grado, che possono esser integrate quindi secondo il procedimento visto sopra.

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2° Caso: Δ = 0

Nel caso ci trovassimo un denominatore avente Delta nullo, allora tale denominatore corrisponde al quadrato di un binomio, e possiamo adottare una strategia molto simile alla precedente.

Consideriamo una frazione avente un denominatore:

ax² + bx + c = a(x − x₀)²

essendo x₀ lo zero del poliniomio. Anche qui l'obiettivo è spezzare la frazione in una somma di frazioni più semplici, facendo un percorso inverso alla classica somma tra frazioni; tuttavia in quest caso non avendo fattori distinti, non possiamo distribuirli in modo facile in due denominatori f₁(x) ed f₂(x), occorre compiere una distribuzione diversa:

• f₁(x) = (x − x₀)²
• f₂(x) = a (x − x₀)

In modo un po' alternativo, abbiamo ottenuto due fattori distinti, il cui mcm è sempre il denominatore originale d(x).

A questo punto procediamo come nel caso precedente, confrontando le frazioni:

Svolgiamo il mcm e sommiamo le frazioni a destra, quindi confrontiamo solo i numeratori:

r(x) = aA + B(x − x₀)

Confrontiamo separatamente i termini di primo grado e i termini noti di entrambi i membri (in caso facendo un sistema) per determinare i valori di A e B corretti.

Una volta determinati i numeratori A e B possiamo risolvere le due frazioni secondo due regole:

• la prima frazione (quella numeratore di primo secondo grado) può essere integrata con la regola delle potenze, con la regola generale:

  ⎧ ⎪ ⎭ n (ax + b)² dx   =   − n a · 1 ax + b

• la seconda frazione (quella numeratore di primo grado) può essere integrata con la regola del logaritmo, secondo il procedimento visto sopra.

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3° Caso: Δ < 0

Nel caso in cui il denominatore abbia Delta negativo, occorre seguire una strategia diversa.

Consideriamo una frazione avente numeratore r(x) di primo grado e denominatore d(x) di secondo grado, con Delta negativo; sia d'(x) la derivata del denominatore; se il numeratore coincide con d'(x) (o è un suo multiplo) allora l'integrale si risolve in modo immediato, come già visto.

In caso contrario, il primo passo è spezzare la frazione in due frazioni aventi lo stesso denominatore, e distribuendo in modo furbo i due numeratori, in modo che:

• una frazione abbia il numeratore di primo corrispondente a d'(x);
• l'altra frazione abbia il numeratore numerico.

Tale risultato si può ottenere facilmente moltiplicando e dividendo il numeratore r(x) in modo che il coefficiente della x sia quello voluto, e poi separando in una nuova frazione la parte numerica in eccesso.

La prima frazione si risolve quindi con la regola del logaritmo; la seconda invece può esser risolta con la regola dell'arcotangente; per poter applicare tale regola il primo passo è scrivere il denominatore come una somma tra un quadrato di binomio e un numero positivo, in altri termini come la somma tra due quadrati:

d(x) = (ax + b)² + n²

Questo può esser ottenuto con la regola del completamento del quadrato (vedi il Dizionario).

La frazione può esser ricondotta al caso elementare con semplici aggiustamenti fuori e dentro l'integrale, in modo da poter esser risolta con la regola dell'argotangente.
In ogni caso la regola generale per l'integrale dell'arcotangente con argomento di primo grado è:

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