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TECNICHE DI INTEGRAZIONE

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Metodo di sostituzione
Integrazione per parti

Metodo di sostituzione

Questo metodo, richiama il normale metodo di sostituzione usato nei sistemi o nelle equazioni complesse, in cui si sostituisce un'espressione con una semplice variabile ausiliaria, al fine di semplificare lo svolgimento dell'esercizio. Tuttavia in questo contesto va applicato con maggiore attenzione.
Vediamo come si applica.

Consideriamo la nostra funzione integranda ƒ(x), al cui interno è presente un'espressione g(x) che vogliamo sostituire: spesso questo medoto è utile applicarlo nelle funzioni composte ƒ(g(x)), in cui g(x) è l'argomento, ma si può applicare anche con espressioni qualunque.

Sia t una variabile ausiliaria che associamo a g(x),quindi t = g(x). Sia x = h(t) la funzione inversa h = g⁻¹; nel caso g non sia invertibile è sufficiente restringere Dominio e insieme immagine della funzione; tuttavia nel semplice calcolo di un integrale indefinito possiamo non preoccuparci di queste questioni.
Il metodo di sostituzione avviene nel seguente modo:

si applica la sostituzione t = g(x) dove necessario all'interno della funzione integranda f(g(x));
per eventuali altre x presenti si applica la sostituzione inversa: x = h(t)
si calcola il nuovo differenziale dt da inserire, usando le relazioni tra differenziali viste in precedenza: dt = g '(x)dx oppure dx = h'(t) dt
una volta risolto l’integrale, si ri-sostituisce t = g(x), per far tornare la x nella funzione primitiva φ(t) ottenuta.

∫ f(g(x)) g '(x) dx

↓ ↓

∫ f(t) dt

↓

φ(t) + c

↓

φ(g(x)) + c

Attenzione: la parte più delicata è la sostituzione del differenziale: il metodo più veloce è porre dt = g '(x)dx, ma non ci assicura di sostituire tutte le x: rischiamo di ottenere un'espressione mista, con due variabili...; al contrario porre dx = h'(t) dt può esser più laborioso, ma ci permette di ottenere una funzione integranda solamente con le t.

Osservazione: questa regola non serve a risolvere del tutto l’integrale, ma ad ottenere una diversa funzione integranda, in genere più facile rispetto a quella iniziale; in particolare, applicando in modo opportunamente oculato il metodo di sostituzione all’argomento di una funzione composta, la funzione composta può diventare elementare.

Esempio 3. Risolviamo l'integrale:

⎧ ⎪ ⎭

𝓁𝓃 (x) x

Poniamo: 𝓁𝓃 (x) = t,
quindi invertendo: x = e^t
e differenziando: dx = e^t dt

A questo punto sostituiamo ogni elemento all'interno dell'integrale:

⎧ ⎪ ⎭

t e^t

e^t dt

Semplificanto gli e^t otteniamo l'integrale elementare:

∫ t dt = t² ⁄ 2 + c

Infine reinseriamo la x, sapendo che t = 𝓁𝓃 (x).

t² ⁄ 2 + c = [𝓁𝓃 (x)]² ⁄ 2 + c

Esempio 4. Studiamo quest'altro integrale:

⎧ ⎪ ⎭

cos(x) 2 − cos²(x)

Prima di procedere alla risoluzione, occorre ricordare che il seno e il coseno sono due funzioni collegate oltre che dalla prima relazione fondamentale della goniometria, anche dal fatto che sono uno derivata (o primitiva) dell'altro, a meno di un eventuale segno.

Quindi per prima cosa applichiamo la prima relazione fondamentale, trasformando la funzione integranda nel seguente modo:

cos(x) 2 − cos²(x)

cos(x) 1 + sin²(x)

E ci accorgiamo che il denominatore è la somma di due quadrati, proprio come nella regola di derivazione della funzione arcotangente; inoltre il coseno al numeratore è la derivata del seno…
Applichiamo il metodo di sostituzione.

Poniamo: sin(x) = t,
quindi: cos(x) = √1 − t²
invertendo: x = arcsin(t)
e differenziando:

dx =

1 √ 1 − t²

A questo punto sostituiamo ogni elemento all'interno dell'integrale:

⎧ ⎪ ⎭

√1 − t² 1 + t²

1 √ 1 − t²

Semplificanto i termini √ 1 − t² otteniamo l'integrale elementare:

⎧ ⎪ ⎭

1 1 + t²

dt = arctan(t) + c

Infine reinseriamo la x, sapendo che t = sin(x).

arctan(t) + c = arctan(sin(x)) + c

Che purtroppo non si può scrivere in forma migliore.

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Metodo di integrazione per parti

Il metodo di integrazione per parti si ricava dalla regola della derivata di un prodotto, vista come un'equazione: si isola uno dei due termini e si integra da entrambe le parti.

D [f(x)·g(x)] = f '(x)·g(x) + f(x)·g '(x)

f '(x)·g(x) = D [f(x)·g(x)] − f(x)·g '(x)

∫ f '(x)·g(x) dx = ∫ D [f(x)·g(x)] dx − ∫ f(x)·g '(x) dx

Per le proprietà viste in precedenza, l'integrale di una derivata coincide con la funzione da derivare, per cui il secondo termine può esser semplificato, ottenendo:

∫ f '(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g '(x) dx

Osservazione: anche questo metodo, come il precedente, da solo non basta a risolvere del tutto l'integrale, tuttavia permette di ottenere una diversa funzione integranda; con un po' di ragionamento e di esperienza si puòottenere una funzione integranda più facile rispetto a prima, o ancor meglio un integrale immediato.

Questa regola si applica generalmente nel caso dell'integrale di un prodotto tra due funzioni (anche banali), possibilmente non composte; si procede nel seguente modo:

si individuano le due espressioni-fattori
si assegnano i ruoli di f '(x) e g(x):
- il fattore che ha il ruolo di f '(x) deve essere facile da integrare, quindi in genere una funzione elementare del tipo: e^x, cos(x), sin(x);
- la funzione che ha il ruolo di g(x) deve essere facile da derivare, come ad ad esempio xⁿ, 𝓁𝓃(x); può esser anche una funzione composta, nel caso ce ne sia una presente;
si calcolano le espressioni mancanti: f(x) si ottiene integrando f'(x), mentre g '(x) si ottiene derivando g(x).
si inseriscono le espressioni all'interno della formula e si svolgono i calcoli.

Esempio 5. Applichiamo il medoto di integrazione per parti per risolvere il seguente integrale:

∫ 2x sin(x) dx

Primo passo: controlliamo la funzione integranda. La funzione è il prodotto di due fattori: 2x e sin(x).

Secondo passo: assegnamo i ruoli. Entrambe le funzioni sono facili da integrare e da derivare, tuttavia facendo un bilancio economico sui due possibili risultati, ci accorgiamo che conviene derivare la funzione 2x, mentre conviene integrare la funzione sin(x): infatti ricordiamo che l'obiettivo di questo metodo è rimescolare la funzione integranda per ottenerne una nuova più semplice della precedente.
Quindi:

f '(x) = sin(x)
g(x) = 2x

Terzo passo: Calcoliamo le espressioni mancanti.

f '(x) = sin(x) → f(x) = −cos(x)
g(x) = 2x → g '(x) = 2

Quarto passo: inseriamo le espressioni all'interno della formula e svolgiamo i calcoli.

∫ f '(x)·g(x) dx =

= f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g '(x) dx =

= −cos(x)·2x − ∫ −cos(x)·2 dx =

= −2x cos(x) + 2 ∫ cos(x) dx

Abbiamo portato fuori dall'integrale il −2, essendo un fattore moltiplicativo, e abbiamo ottenuto un integrale elementare.

= −2x cos(x) + 2 sin(x) + c

Esempio 6 - Primitiva del logaritmo. Vediamo un caso particolare: utilizziamo il metodo di integrazione per parti per trovare la primitiva del logaritmo naturale.

∫ 𝓁𝓃(x) dx

Primo passo: controlliamo la funzione integranda. In effetti è presente una sola funzione! possiamo tuttavia considerare 1 come fattore nascosto, e vedere la funzione come il prodotto tra: 1 e 𝓁𝓃(x).

Secondo passo: assegnamo i ruoli.In questo caso la scelta è obbligata: non conoscendo la primitiva del logaritmo, tale fattore deve esser quello da derivare, e quindi 1 è il fattore da integrare.

f '(x) = 1
g(x) = 𝓁𝓃(x)

Terzo passo: Calcoliamo le espressioni mancanti.

f '(x) = 1 → f(x) = x
g(x) = 𝓁𝓃(x) → g '(x) = 1 ⁄ x

Quarto passo: inseriamo le espressioni all'interno della formula e svolgiamo i calcoli.

∫ 1 · 𝓁𝓃(x) dx = x · 𝓁𝓃(x) − ∫ x · 1 ⁄ x dx =

= x 𝓁𝓃(x) − ∫ 1 dx =

= x 𝓁𝓃(x) − x + c

Quindi siamo riusciti a risolvere l'integrale e ottenere la primitiva del logaritmo naturale:

∫ 𝓁𝓃(x) dx = x (𝓁𝓃(x) − 1) + c

Osservazione: nel caso in cui il logaritmo abbia un argomento diverso, o una base diversa, tale strategia non è così semplice; tuttavia, aiutandoci con le regole dei logaritmi, possiamo ottenere la primitiva di un logaritmo di base generica "a", con a > 0 e a ≠ 1.

∫ log _a (x) dx = x (log _a (x) − log _a (e)) + c

In alcuni casi per risolvere l'esercizio è necessario applicare più volte il metodo di Integrazione per parti: per capire se stiamo sulla strada giusta, è importante controllare che ad ogni passo la funzione integranda non si vada a complicare, ma al contrario si semplifichi sempre più.
In casi più avanzati, può capitare che dopo uno o due applicazioni di questo metodo si riottenga esattamente la funzione integranda iniziale! Come proseguire?

se l'integrale ottenuto nel risultato è identico a quello iniziale, con lo stesso segno, vuol dire che abbiamo seguito male il medoto e che, nell'applicare più volte la regola, siamo tornati indietro invece che andare avanti: in tal caso occorre ripartire scegliendo diversamente i ruoli dei fattori;
se invece l'integrale ottenuto è identico ma con il segno opposto, vuol dire che i passaggi fatti sono corretti, ma ci troviamo ad un punto morto… in tal caso un trucco utile per superare questa impasse è vedere l'esercizio come un'equazione da risolvere, in cui l'incognita da trovare è l'intero integrale.

Vediamo un esempio per capire meglio come applicare più volte questo metodo.

Esempio 7. Applichiamo il medoto di integrazione per parti per risolvere il seguente integrale:

∫ x³ e^x dx

Seguiamo i vari passi descritti in precedenza; entrambe le funzioni sono facili da integrare e da derivare, in particolare per e^x non cambia assolutamente nulla, per cui ci basiamo su x³. Quest'ultima, essendo una potenza, è più utile derivarla, quindi:
Quindi:

f '(x) = e^x → f(x) = e^x
g(x) = x³ → g '(x) = 3x²

Inseriamo le espressioni all'interno della formula e svolgiamo i calcoli.

∫ f '(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) − ∫ f(x)·g '(x) dx =

= e^x·x³ − ∫ e^x·3x² dx =

= x³ e^x − 3 ∫ x² e^x dx

La funzione integranda non si può ancora risolvere, tuttavia notiamo che è leggermente migliore di quella iniziale e che, applicando altre volte questo metodo, possiamo risolvere l'esercizio. Riapplichiamo quindi questo metodo, facendo attenzione a mantenere invariati i ruoli, altrimenti rischiamo di tornare indietro!

f '(x) = e^x → f(x) = e^x
g(x) = x² → g '(x) = 2x

Inseriamo le espressioni calcolate all'interno del risultato ottenuto finora e svolgiamo eventuali calcoli.

x³ e^x − 3 ∫ x² e^x dx =

= x³ e^x − 3 [e^x x² − ∫ e^x 2x dx] =

= x³ e^x − 3x² e^x + 3 ∫ e^x 2x dx =

= x³ e^x − 3x² e^x + 6 ∫ e^x x dx

Anche qui che la funzione integranda non si può risolvere, tuttavia la funzione integranda è ulteriormente migliorata. Applichiamo un'altra volta questo metodo, sempre facendo attenzione a mantenere invariati i ruoli.

f '(x) = e^x → f(x) = e^x
g(x) = x → g '(x) = 1

Inseriamo le espressioni calcolate all'interno del risultato ottenuto prima e svolgiamo eventuali calcoli.

x³ e^x − 3x² e^x + 6 ∫ e^x x dx =

x³ e^x − 3x² e^x + 6 [e^x x − ∫ e^x dx] =

x³ e^x − 3x² e^x + 6x e^x − 6 ∫ e^x dx

Finalmente abbiamo ottenuto un integrale elementare, che può esser risolto.

x³ e^x − 3x² e^x + 6x e^x − 6e^x + c =

= e^x (x³ − 3x² + 6x − 6) + c

Vediamo infine un esempio di come procedere nel caso si riottenga una funzione integranda uguale a quella iniziale.

Esempio 8. Per mezzo del medoto di integrazione per parti risolviamo il seguente integrale:

∫ sin(x) e^x dx

Seguiamo i vari passi descritti in precedenza; entrambe le funzioni sono facili da integrare e da derivare, in questo caso è indifferente la scelta che si fa, l'importante è mantenere la stessa scelta anche nei passaggi successivi. In questo caso poniamo: