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L'INTEGRALE INDEFINITO
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CONTENUTO DELLA PAGINA
Definizioni iniziali
Integrali immediati
Regole base
Funzioni composte
Definizioni iniziali
Gli integrali e le derivate sono concetti molto legati, e hanno moltissime applicazioni. Andiamo per ordine, con una prima definizione
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Una funzione φ(x) si dice primitiva di una funzione ƒ(x), se ƒ(x) è la derivata di φ(x), ossia se:
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Ad esempio φ(x) = x² è una primitiva di ƒ(x) = 2x, poiché D[x²] = 2x.
Ovviamente una funzione ƒ(x) può avere più funzioni primitive: infatti restando nel precedente esempio, anche φ(x) = x² + 3 è una primitiva di ƒ(x) = 2x, in quanto anche D[x² + 3] = 2x.
In generale se φ(x) è una primitiva di ƒ(x), allora anche φ(x) + c è un'altra primitiva di ƒ(x), essendo c un qualunque numero relae, la cui derivata è quindi zero.
Possiamo quindi introdurre formalmente la famiglia di tutte le primitive di una funzione ƒ(x):
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L'insieme di tutte le funzioni primitive di una funzione ƒ(x) si chiama integrale indefinito di ƒ(x) , e si indica:
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Dove:
- il simbolo ∫ è il simbolo di integrazione;
- ƒ(x) è la funzione integranda;
- dx è il differenziale della variabile x .
Da questa definizione possiamo quindi scrivere la relazione:
∫ ƒ(x) dx = φ(x) + c
Approfondimento: il simbolo ∫ ha origine da una S allungata, che vale come sommatoria estesa a variazioni infinitesime.
Per la precisione infatti, la funzione φ(x) viene vista come una sommatoria di tanti pezzetti:
φ(x) = ∑ Δφ(x)
Questa sommatoria viene estesa a variazioni sempre più piccole e numerose, fino a (passando ai limiti) considerare variazioni infinitesime:
φ(x) = ∫ dφ(x)
Dove l'espressione dφ(x) è proprio il differenziale della funzione φ(x).
Ricordando che il differenziale di una funzione equivale al prodotto della derivata della funzione per il differenziale della variabile:
dƒ(x) = ƒ'(x) · dx
allora l'espressione ƒ(x)·dx corrisponde esattamente al differenziale della funzione primitiva:
dφ(x) = ƒ(x) dx.
Infine, osservando che una funzione costante ha variazioni nulle, allora eventuali termini costanti all'interno di φ(x) non vengono presi in considerazione nel calcolo dell'integrale, quindi andranno aggiunti in seguito.
Attenzione: non tutte le funzioni possiedono una funzione primitiva! Possiamo definire:
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Una funzione si dice integrabile se ammette (almeno) una funzione primitiva.
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Ovviamente il termine almeno è tra parentesi perchè una funzione che ammetta una primitiva, ne ammette in effetti infinite, al variare della costante additiva c.
Quali sono le funzioni integrabili? Sono moltissime, più delle funzioni continue; in particolare:
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Tutte le funzioni continue sono integrabili.
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Tuttavia non è vero il viceversa: esistono funzioni integrabili che non sono continue.
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Esempio 1. Analizziamo la funzione definita a tratti:
| ƒ(x) = |
⎧
⎨
⎩ |
1
−1 |
se x ≥ 0
se x < 0 |
Tale funzione non è continua, avendo in x = 0 una discontinuità di salto; tuttavia è la derivata della funzione modulo:
φ(x) = | x |
Di conseguenza la funzione φ(x) è una primitiva; di ƒ(x), quindi ƒ(x) è integrabile.
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Il calcolo della funzione primitiva si dice che avviene risolvendo l'integrale (anche se questa dicitura è un po' imprecisa); in effetti anche l'integrale è un operatore, ossia una funzione che modifica altre funzioni, proprio come lo è la derivata
∫ : ƒ ↦ φ + c
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Integrali immediati
Ecco una lista con alcuni esempi di funzioni primitive che si possono ottenere in modo semplice dalle derivate più comuni.
Per ottenere l'integrale indefinito associato alla primitiva, è sufficiente aggiungere ad essa la costante di integrazione c, ad esempio: se: φ(x) = x², allora ∫ƒ(x)dx = x² + c
funzione
ƒ(x) |
primitiva
φ(x) |
| k |
kx |
| x |
x² ⁄ 2 |
| x² |
x³ ⁄ 3 |
xn
(con n ≠ −1) |
xn+1 ⁄ (n+1) |
| 1 ⁄ x |
𝓁𝓃 |x| |
| √ x |
3x√ x ⁄ 2 |
| ex |
ex |
ax
(con a > 0 e a ≠ 1) |
ax ⁄ 𝓁𝓃 a |
| sen(x) |
−cos(x) |
| cos(x) |
sen(x) |
| 1 + tan(x)² |
tan(x) |
| 1 ⁄ √ 1 − x² |
arcsin(x) |
| −1 ⁄ √ 1 − x² |
arccos(x) |
| 1 ⁄ (1 + x²) |
arctan(x) |
Attenzione: è molto importante ricordare che tali valgono per funzioni elementari, non composte; inoltre la regola della potenza vale solo se l'esponente n ≠ − 1 altrimenti ci ritroviamo a dividere per zero!
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Regole di base
L'operatore di integrazione è un operatore lineare, ossia non modifica le operazioni di somma e differenza tra funzioni, né di prodotto per un coefficiente numerico, ossia:
Inoltre, essendo derivata e integrale due operatori inversi, valgono le due identità:
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Identità
L'integrale della derivata di una funzione è la funzione stessa, a meno di una costante additiva
La derivata dell'integrale di una funzione è la funzione stessa
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Integrazione di funzioni composte
Consideriamo una funzione composta ƒ(g(x)), in cui g(x) è l'argomento di ƒ.
Ricordiamo che la derivata di una funzione composta è data dal prodotto delle derivate dei vari livelli di composizione:
D [ƒ(g(x))] = ƒ'(g(x)) · g'(x)
Questa regola, molto meccanica ma un po' complessa, ci crea non pochi ostacoli nel processo di integrazione di una funzione composta.
Per poter integrare una funzione composta infatti è necessario che all'interno della funzione integranda sia presente tra i fattori anche la derivata dell'argomento, infatti:
∫ ƒ'(g(x))dx ≠ ƒ(g(x))
in quanto a sinistra non abbiamo la derivata completa, solo una parte. La regola corretta è:
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Esempio 2. Calcoliamo l'integrale della funzione:
ƒ(x) = 2x sin(x²)
La funzione seno è composta con la funzione x², che è l'argomento, ed è moltiplicata per 2x, che è la derivata dell'argomento.
Quindi possiamo effettuare l'integrale, calcolando la primitiva del seno e facendo scomparire la derivata di troppo, ossia 2x.
∫ 2x sin(x²) dx = −cos(x²) + c
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Ecco un elenco di funzioni composte la cui primitiva si ottiene seguendo le regole precedenti, con l'aggiunta dell'argomento g(x) e della sua derivata:
funzione
ƒ(g(x)) |
primitiva
φ(g(x)) |
g(x)n g'(x)
(con n ≠ −1) |
g(x)n+1 ⁄ (n+1) |
| g'(x) ⁄ g(x) |
𝓁𝓃 |g(x)| |
| eg(x) g'(x) |
eg(x) |
| sen(g(x)) g'(x) |
−cos(g(x)) |
| cos(g(x)) g'(x) |
sen(g(x)) |
| [1 + tan²g(x)] g'(x) |
tan(g(x)) |
| g'(x)
√ 1 − g(x)² |
arcsin(g(x)) |
| −g'(x)
√ 1 − g(x)² |
arccos(g(x)) |
| g'(x)
(1 + g(x)²) |
arctan(g(x)) |
Dove, ricordiamo, è necessario che all'interno della funzione integranda sia presente tra i fattori anche la derivata dell'argomento, g'(x); in caso contrario non si può applicare la regola considerata.
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