Un'applicazione molto frequente degli integrali definiti è il calcolo di aree di regioni piane qualunque, definite da grafici di funzioni.
Abbiamo visto dalla definizione che l'integrale definito di una funzione ƒ(x) ci fornisce l'area compresa tra il grafico della funzione e l'asse x nell'intervallo [a, b] considerato.
Esempio 15.Calcoliamo l'area compresa tra la funzione ƒ(x) = x² − 4x + 3 e l'asse x, nell'intervallo [4; 5].
Figura 4
La funzione è continua e gli zeri della funzione sono 1 e 3, che non sono interni all'intervallo; di conseguenza possiamo quindi studiare l'integrale definito in tutto l'intervallo.
𝒜 =
5
⎧
⎪
⎭
4
(x² − 4x + 3)dx
Il primo passo è studiare la funzione primitiva, ignorando la costante additiva.
φ(x) =
⎧
⎪
⎭
(x² − 4x + 3) dx
Questo è un integrale che si può risolvere in modo semplice. Applicando le regole viste, risolviamo e otteniamo una possibile funzione primitiva:
φ(x) =
x³
3
− 2x² + 3x
Calcoliamo quindi i valori di φ(x) negli estremi di integrazione:
φ(5) =
125
3
− 50 + 15 =
20
3
φ(4) =
64
3
− 32 + 12 =
4
3
Passo finale: sottraiamo i due risultati:
[φ(x)]
5 4
= φ(5) − φ(4) =
20
3
−
4
3
=
16
3
Conclusione: l'area compresa tra la funzione e l'asse x nell'intervallo [4; 5] è uguale a 16/3.
Ricordiamo che il risultato dell'integrale definito non sempre corrisponde all'area geometrica, in quanto in generale l'integrale definito si ottiene da una somma algebrica di singole aree, ognuna con il proprio segno, quindi il risultato può esser anche nullo o negativo.
Per questo motivo, nel caso si debba calcolare l'area geometrica, prima di studiare un integrale definito, è utile farsi il grafico della funzione integranda, per capire gli intervalli in cui essa è positiva e negativa.
Nel caso dobbiamo calcolare l'area di una regione di piano racchiusa tra più tratti di curve è sufficiente sommare gli integrali definiti nei singoli tratti, percorrendo il perimetro della regione in senso orario.
Consideriamo ad esempio una regione ℛ di area 𝒜 formata dal grafico di tre curve:
curva 𝒶, definita dalla funzione y = f(x);
curva 𝒷, definita dalla funzione y = g(x);
curva 𝒸, definita dalla funzione y = h(x);
Figura 5
Siano inoltre :
P il punto di intersezione tra 𝒶 e 𝒷;
Q il punto di intersezione tra 𝒷 e 𝒸;
S il punto di intersezione tra 𝒸 e 𝒶;
Dove P, Q, S, sono posti in senso antiorario, come in figura 5. Allora per calcolare l'integrale consideriamo i tratti in senso orario:
𝒜 =
xP
⎧
⎪
⎭
xQ
g(x) dx +
xS
⎧
⎪
⎭
xP
f(x) dx +
xQ
⎧
⎪
⎭
xS
h(x) dx
Vediamo meglio con un esempio.
Esempio 16.Calcoliamo l'area del triangolo formato dalle rette r, s, t, di equazioni:
r : x − 4y = 10
s : x + y − 5 = 0
r : 3x − 2y = 0
Figura 6
Scriviamo in forma esplicita le tre rette, in modo da ottenere tre funzioni:
r: y = x ⁄ 4 − 5 ⁄ 2
s: y = − x + 5
t: y = 3x ⁄ 2
Determiniamo quindi i punti di intersezione, mettendo a sistema a coppie le tre rette; otteniamo:
punto di intersezione tra r ed s: A (6; − 1)
punto di intersezione tra s e t: B (2; 3)
punto di intersezione tra t ed r: C (− 2; − 3)
A questo punto calcoliamo l'area 𝒜 seguendo il segno orario partendo dal punto A (riferendoci alla figura 6) e svolgendo gli integrali definiti:
𝒜 =
xC
⎧
⎪
⎭
xA
r(x) dx +
xB
⎧
⎪
⎭
xC
t(x) dx +
xA
⎧
⎪
⎭
xB
s(x) dx =
=
−2
⎧
⎪
⎭
6
⎧
⎪
⎩
x
4
−
5
2
⎫
⎪
⎭
dx +
2
⎧
⎪
⎭
−2
⎧
⎪
⎩
3x
2
⎫
⎪
⎭
dx +
6
⎧
⎪
⎭
2
(− x + 5) dx =
=
⎡
⎢
⎣
x²
8
−
5x
2
⎤
⎥
⎦
−2
6
+
⎡
⎢
⎣
3x²
4
⎤
⎥
⎦
2
−2
+
⎡
⎢
⎣
−x²
2
+ 5x
⎤
⎥
⎦
6
2
=
= 16 + 0 + 4 = 20
Conclusione: l'area del triangolo ABC è 20.
Questo ragionamento si estende nel caso di regioni formate da più tratti di curve.
In generale la regola funziona per ogni tipo di regione piana connessa (ossia formata da un'unica parte, non divisa in zone disgiunte). Nel caso particolare di regioni intrecciate, per studiare la funzione percorrendo il contorno in senso orario occorre fare molta più attenzione: la regola generale è la stessa, ma i tratti da considerare diventano di più.
Un'ulteriore estensione al calcolo delle aree è il caso in cui la regione piana che si deve studiare sia illimitata.
La domanda a questo punto sorge ovvia: ma se una regione è illimitata, allora l'area non è infinita? La risposta è: non sempre.
Ci sono casi in cui una regione illimitata copre un'area infinita, e altri invece in cui copre un'area finita.
Un integrale improprio è un integrale definito su una regione illimitata
Dal momento che in questo contesto stiamo studiando regioni illimitate e valori potenzialmente infiniti, abbiamo bisogno di appoggiarci allo studio dei limiti.
La strategia per lo studio di un integrale improprio in una regione illimitata ℛ si può schematizzare in questi passi:
limitare inizialmente l'intervallo di integrazione introducendo un parametro k, in modo da ottenere una regione finita ℛ(k);
calcolare l'integrale definito nella ragione finita in modo da ottenere un'area finita 𝒜(k);
per mezzo dei limiti spostare i parametri per estendere la regione finita ℛ(k) a tutta la regione iniziale ℛ.
Nel caso in cui il limite della funzione 𝒜(k) venga finito, si dice che l'integrale converge al limite trovato.
Nel caso in cui il limite della funzione 𝒜(k) venga infinito, si dice che l'integrale diverge a infinito.
Esempio 17.Studiamo l'area compresa tra la funzione ƒ(x) = 1 ⁄ x² e l'asse x, nell'intervallo [2, +∞).
Figura 7
La regione compresa tra la funzione e l'asse x, nell'intervallo [2; +∞) è illimitata, in quanto l'asse x non tocca la funzione (in questo caso è un asintoto), come si vede in figura 7.
Per poter impostare l'integrale, fissiamo il parametro k > 2, e consideriamo l'intervallo [2; k], in cui la funzione è integrabile, essendo continua. Calcoliamo quindi l'integrale in questo nuovo intervallo.
𝒜(k) =
k
⎧
⎪
⎭
2
1
x²
dx =
⎡
⎢
⎣
−
1
x
⎤
⎥
⎦
k
2
=
=
⎧
⎪
⎩
−
1
k
⎫
⎪
⎭
−
⎧
⎪
⎩
−
1
2
⎫
⎪
⎭
=
1
2
−
1
k
Ora facciamo il limite di questa espressione ottenuta, per k che tende a +∞, in modo da ottenere l'intervallo richiesto.
𝓁𝒾𝓂
k → +∞
𝒜(k)
=
1
2
−
1
+∞
=
1
2
Conclusione: L'integrale converge ad 1 ⁄ 2, dunque l'area della regione richiesta è limitata e vale 1 ⁄ 2.
Osservazione: Nel caso sia necessario, si possono introdurre più parametri e studiare la funzione in più intervalli disgiunti; in tal caso occorre studiare più integrali e fare più limiti, sommando (o sottraendo) poi i risultati ottenuti.
