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L'INTEGRALE DEFINITO

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CONTENUTO DELLA PAGINA
L'integrale definito
Proprietà
La funzione integrale
Calcolo di lunghezze

L'integrale definito

Consideriamo una funzione ƒ(x), definita su un intervallo [a, b].

Dividiamo l'intervallo [a,b] in piccoli segmentini Δx e per ogni segmentino consideriamo il valore della funzione tale zona (nel caso la funzione variasse molto in tali segmentini possiamo considerare il valore più piccolo) e costruiamo tanti rettangolini all'interno della funzione, come in figura 1.

Possiamo rimpicciolire i segmentini Δx, in modo da ottenere segmenti infinitesimi dx, a cui possiamo far corrispondere un valore preciso della funzione in tale intervallo; in questa situazioni i rettangolini tendono a diventare dei segmenti verticali, la cui unione tende a coprire tutta la regione di piano tra la funzione e l'asse x; di conseguenza la somma delle aree dei rettangolini tende a coincidere con l'area 𝒜 di tutta la regione.

L'area di ogni rettangolino corrisponde ad un piccolo incremento di Area della regione:

d𝒜 = ƒ(x) dx

Abbiamo visto che la somma di infiniti valori può esser studiata tramite gli integrali e, dal momento che possiamo studiare l'area di una regione come somma di aree di infiniti rettangolini, di conseguenza:

A questo punto possiamo definire in modo più preciso:

Questa definizione sfrutta in modo preciso il concetto e la notazione integrale: l'operatore integrale infatti abbiamo visto serve ad indicare una somma tra infiniti termini: la via utilizzata è stata quella divedere l'area 𝒜 come somma delle aree degli infiniti rettangolini aventi base dx e altezza ƒ(x), tanto stretti da coincidere con la sola altezza: l'area viene vista come somma di infiniti segmenti verticali, di valore ƒ(x).

Osservazione. L'area ottenuta da un integrale definito è un'area algebrica, quindi non sempre è positiva, ma può esser anche negativa o nulla; in generale se a = b, allora ovviamente 𝒜 = 0, in quanto l'intervallo ha lunghezza zero. Inoltre:

Se ƒ(x) è una funzione positiva, allora:

• se a < b, allora 𝒜 è positiva;
• se a > b, allora 𝒜) è negativa.

Al contrario se ƒ(x) è una funzione negativa, allora:

• se a < b, allora 𝒜 è negativa;
• se a > b, allora 𝒜 è positiva.

In generale se ƒ(x) è una funzione a tratti positiva e in altri negativa, il valore di 𝒜 corrisponde alla somma algebrica dei valori nei singoli tratti. Per questo motivo può accadere che 𝒜 risulti zero anche se a ≠ b e se ƒ(x) non è la funzione nulla.

Esempio 13. Studiamo la funzione sin(x) nell'intervallo [0, 2π]. Disegnando in modo preciso la funzione, osserviamo che il grafico forma con l'asse x tra 0 e 2π due regioni distinte: una prima regione da 0 fino a π, in cui la funzione è positiva: l'area che si forma è quindi positiva. la seconda regione da π fino a 2π, in cui la funzione è negativa: l'area che si forma è quindi negativa. I due tratti sono simmetrici rispetto al punto (π; 0), di conseguenza le due regioni hanno aree in valore assoluto sono uguali; tuttavia le due aree hanno segno diverso, quindi l'integrale definito in [0, 2π] di sin(x) risulta zero.

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Proprietà

L'integrale definito eredita le proprietà generali dell'integrale indefinito:

Inoltre dalla definizione e dallo osservazioni precedenti possiamo ricavare anche le seguenti ulteriori proprietà:

Infine possiamo sfruttare l'integrale definito per calcolare il valor medio della funzione in un intervallo.

Sia ƒ(x) il valor medio che vogliamo determinare: esso corrisponde all'altezza di un rettangolo equivalente all'area totale che si ottiene dall'integrale. Allora:

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La funzione integrale

Per poter calcolare operativamente l'integrale definito, occorre introdurre una importante funzione, che generalizza il concetto di integrale.

Attenzione. La funzione integranda usa un'incognita diversa, t, semplicemente per ricordare che la vera incognita della funzione integrale è l'estremo variabile dell'intervallo su cui studiamo l'area.
La definizione prevede che l'estremo incognito sia il secondo (quello in alto); ma utilizzando le proprietà dell'integrale definito si può anche spostare come primo estremo (in basso).

In figura 3 abbiamo indicato di rosso l'area corrispondente al valore di F(x). Come casi particolari abbiamo:

• F(a) = 0
• F(b) = 𝒜

essendo 𝒜 l'area di tutta la regione nell'intervallo, ossia l'integrale definito su [a, b].

Osservazione. La variabile x può trovarsi anche al di fuori dell'intervallo [a, b], purchè la funzione ƒ(x) sia definita in tutto l'intervallo esteso fino ad x; inoltre non è necessario che ƒ(x) sia continua in tale intervallo, l'importante è che sia continua a tratti, ossia avente solo un numero finito di punti di discontinuità.
Ovviamente il caso migliore è che una funzione sia continua in tutto l'intervallo, senza interruzioni.

La funzione integrale ha origine quindi dall'operatore di integrale, proprio come le funzioni primitive che formano l'integrale indefinito; per questo motivo la funzione integrale eredita un'importante proprietà.

Sia ƒ(x) una funzione integrabile e sia F(x) la sua funzione integrale. Allora:

Da questa definizione si deduce che la funzione ƒ(x) è la derivata della funzione F(x).
Le primitive di una funzione sono infinite, e differiscono dalla sola costante additiva "c".

Sia φ(x) una qualunque primitiva di ƒ(x) calcolata per mezzo delle regole dell'integrale indefinito; allora:

φ(x) = F(x) + c

Possiamo quindi studiare φ(x) nell'intervallo [a, b]:

• φ(a) = c
• φ(b) = 𝒜 + c

Dove la costante c è la stessa in tutte e due i casi; sottraendo quindi membro a membro le due uguagliaze, a destra otteniamo 𝒜 ossia l'area corrispondente all'integrale definito su [a, b].
Di conseguenza l'area 𝒜 si può calcolare:

𝒜 = φ(b) − φ(a)

e non è più necessario inserire la costante additiva c, dal momento che questa si semplifica durante la sottrazione.
Da questo ragionamento otteniamo un secondo importante teorema.

Osserviamo che in questo caso non è più necessario l'utilizzo della variabile t, in quanto gli estremi di integrazione sono noti.
Da questo teorema si ottiene un metodo preciso per il calcolo dell'integrale definito.

1. Calcolo la funzione primitiva φ(x), trascurando la costante additiva;
2. calcolo i due valori della funzione φ(x) negli estremi a e b dell'integrale;
3. sottraggo i due valori ottenuti.

La differenza tra i due valori della primitiva si può scrivere in modo compatto con una parentesi quadra:

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Calcolo della lunghezza di un tratto di curva

Una delle applicazioni più semplici degli integrali definiti è il calcolo della lunghezza di un tratto di curva, a patto che questa possa esser vista come il grafico di una funzione in un determinato intervallo.

Sia y = ƒ(x) il grafico di una funzione continua, definita in un intervallo [a, b]. Allora la lunghezza 𝓁 del tratto di grafico in questo intervallo corrisponde alla somma degli infiniti d𝓁 che compongono il grafico. Ma ogni singolo d𝓁, se abbastanza piccolo, coincide con l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, i cui cateti sono dx e dƒ(x), i due differenziali della x e della funzione.
Quindi per il teorema di Pitagora:

d𝓁² = dx² + dƒ(x)²

Ricordiamo che il differenziale della funzione corrisponde al differenziale della x per la derivata della funzione:

dƒ(x) = ƒ '(x) · dx

Inserendo questa formula nel teorema di Pitagora e poi raccogliendo dx²:

d𝓁² = dx² + [ƒ '(x) dx]²

d𝓁² = [1 + ƒ '(x)²] dx²

La lunghezza 𝓁 corrisponde alla somma dei singoli d𝓁, quindi all'integrale della radice dell'espressione appena ottenuta:

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