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CALCOLO DI VOLUMI

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Metodo delle sezioni
Solidi di rotazione
Intorno all'asse x   ♦   Intorno all'asse y

Gli integrali definiti sono utilizzati anche per studiare particolari volumi di regioni nello spazio.

Il punto di partenza è sempre lo stesso: l'integrale fornisce la somma di infiniti termini variabili. In questo caso quindi tramite l'integrale il volume è visto come una somma di infinite "fette", ossia aree di infinite superfici parallele tra loro e di valore finito, variabili al variare di un'incognita.

Metodo delle sezioni

Il metodo generale per il calcolo di volumi è il metodo delle sezioni: esso consiste nel sezionare la regione solida in un insieme di infinite superfici piane e parallele, e applicare l'integrale per calcolare insieme tutte le aree.

Possiamo schematizzare questo metodo nelle seguanti fasi.

1. Individuare una suddivisione della regione solida in superfici non casuali ma variabili con un criterio chiaro e di forma nota.
2. Fissare un riferimento cartesiano, in cui l'area di ogni superficie dipenda dal valore di una sola variabile (ad esempio x) – occorre scegliere un asse perpendicolare alle sezioni.
3. Esplicitare l'area di una sezione, in funzione della variabile scelta 𝒜(x).
4. Individuare l'intervallo di variabilità [a; b], che diventerà il nostro intervallo di integrazione.
5. Impostare e risolvere l'integrale di 𝒜(x) in [a; b].

Vediamo un esempio.

Esempio 18. Calcoliamo il volume di un solido avente per base un triangolo rettangolo di cateti AB = 8 cm e BC = 16 cm, le cui sezioni con piani perpendicolari al cateto maggiore sono semicerchi. Il primo passo è ovviamente comprendere il testo: il solido ha come sezioni dei semicerchi, quindi il suo volume può esser ottenuto dalla somma delle aree dei singoli semicerchi. Partiamo quindi cercando di rappresentare (per quanto possibile) il solido: disegnamo in prospettiva un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AC, e prolunghiamo il cateto maggiore BC, che sarà il nostro asse x (in quanto il testo ci dice che le sezioni sono perpendicolari al cateto maggiore); a questo punto conviene far sì che l'origine coincida con l'angolo retto B e che il cateto minore sia sull'asse y. Dal momento che le sezioni sono perpendicoli a BC, fissiamo un punto P sul cateto BC e consideriamo un piano α perpendicolare a BC, passante per P; esso taglierà il triangolo nel segmento PQ. Il problema ci dice che il piano forma dei semicerchi, quindi il segmento PQ dovrà essere il diametro di base dei semicerchi: disegnamo un semicerchio di diametro PQ, che stia nel piano α, quindi trasversale rispetto a BC, come in figura 7. Ora osserviamo che al variare di P su BC, il segmento PQ aumenta e diminuisce, di conseguenza l'area del semicerchio dipende da P, o meglio dalla sua x. Il passo successivo è calcolare l'area di un generico semicerchio di diametro PQ, al variare di P. Sul piano xy fissiamo il punto P su BC: P (k; 0), con 0 ≤ k ≤ 16. Per trovare Q possiamo intersecare le rette dei segmenti PQ e AC: la retta PQ è parallela all'asse y e passa per P, quindi ha equazione x = k la retta AC passa per A e C noti, applicando la formula della retta per due punti otteniamo: x + 2y = 16 Mettendo a sistema le due equazioni otteniamo il punto Q di coordinate (k;   8 − k ⁄ 2). La lunghezza del diametro corrisponde a quella del segmento PQ, che a sua volta coincide (in valore assoluto) con la y del punto Q: d = 8 − k ⁄ 2 Il modulo non è necessario per 0 ≤ k ≤ 16. Possiamo quindi trovarci il raggio, dividendo per 2, e l'area del semicerchio, in funzione di k. r = d ⁄ 2 = 4 − k ⁄ 4 𝒜(k) = 1 2 π r² = =   1 2 π ⎧ ⎪ ⎩ 4 − k 4 ⎫ ⎪ ⎭ ²   = =   π ⎧ ⎪ ⎩ 8 − k + k² 32 ⎫ ⎪ ⎭ Individuata la funzione 𝒜(k), impostiamo e risolviamo l'integrale nell'intervallo [0; 16], usando k come variabile di integrazione, per trovare il volume. 𝒱(k)   = 16 ⎧ ⎪ ⎭ 0 π ⎧ ⎪ ⎩ 8 − k + k² 32 ⎫ ⎪ ⎭ dk = =   π ⎡ ⎢ ⎣ 8k − k² 2 + k³ 96 ⎤ ⎥ ⎦ 16 0   = = π ⎧ ⎪ ⎩ 128 − 128 + 128 3 − 0 ⎫ ⎪ ⎭ = 128 3 π Conclusione: il volume del solido è 128 π/3.

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Solidi di rotazione

I solidi di rotazione sono solidi ottenuti dalla rotazione completa di curve o figure piane attorno ad un asse.
I solidi di rotazione più comuni sono:

• il cilindro retto – ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad un suo lato;
• il cono retto – ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto;
• la sfera – ottenuta dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.

Qualunque figura piana, ruotando di un giro completo (2π) intorno ad un asse non perpendicolare ad essa genera un solido di rotazione non banale; tuttavia per semplicità e per evitare situazioni troppo particolari, consideriamo figure generate da grafici di funzioni e assi di rotazione complanari a tali figure, come nei tre esempi citati.

Potendo scegliere noi un riferimento cartesiano, la soluzione più facile è quando l'asse di rotazione coincide con l'asse x; in tal modo possiamo sfruttare la funzione che delimita la figura del problema; possiamo in alternativa considerare anche rotazioni intorno all'asse y, con qualche accorgimento ulteriore. Vediamo questi due casi.

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Rotazione intorno all'asse x

Consideriamo il grafico di una funzione y = ƒ(x), delimitata in un intervallo [a; b]. Ruotando tale funzione intorno all'asse x, otteniamo un solido di rotazione 𝒮, che possiamo vedere formato da infiniti cerchi di dimensioni variabili, disposti in sequenza perpendicolarmente all'asse x.
Seguendo lo stesso ragionamento applicato finora, applicando il metodo delle sezioni, vediamo il volume 𝒱 di 𝒮 come la somma delle aree degli infiniti cerchi, al variare di x:

Rispetto al caso generale studiato in precedenza, in questa situazioni siamo avvantaggiati, in quanto l'area 𝒜(x) è l'area di un cerchio avente centro sull'asse x e raggio uguale a ƒ(x).
Quindi possiamo scrivere:

Portando fuori dall'integrale in π, otteniamo la formula generica per calcolare il volume di un solido ottenuto dalla rotazione di una funzione intorno all'asse x.

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Rotazione intorno all'asse y

Un ragionamento analogo può esser applicato per studiare solidi ottenuti dalla rotazione di una funzione intorno all'asse y; il solido di rotazione 𝒮 può esser visto come una somma di cerchi lungo l'asse y,

Occorre però studiare la funzione inversa, in quando ogni cerchio ha centro sull'asse y e raggio uguale a x = ƒ⁻¹(y), dunque la variabile di integrazione diventa la y; nel caso la funzione iniziale non sia invertibile, occorre spezzare la funzione in più tratti, in modo tale che in ogni tratto la funzione si possa invertire.

Consideriamo quindi il grafico di una funzione y = ƒ(x), delimitato dai punti A e B; supponiamo che in tale tratto sia continua e invertibile, ad esempio sia strettamente crescente; sia ƒ⁻¹(y) la funzione inversa, con y ∈ [y_A; y_B].
Per calolare il volume 𝒱 del solido 𝒮 è sufficiente adattare la formula precedente:

Nel caso la funzione ƒ(x) non si possa invertire, o qualora l'integrale ottenuto con la funzione inversa sia difficile da risolvere, possiamo utilizzare un metodo alternativo, il metodo dei gusci cilindrici.

Invece che vedere il solido 𝒱 come una somma di cerchi lungo l'asse y, lo vediamo come la somma di superfici laterati di cilindri concentrici, ogni cilindro avente raggio di base x e altezza ƒ(x); l'area laterale di un generico cilindo è:

𝒜 = 2 π R h

𝒜(x) = 2 π x ƒ(x)

Integrando la generica superficie 𝒜(x) e portando fuori il termine costante 2π, otteniamo:

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