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Equazione canonica - Proprietà principali - Altre proprietà

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Condizioni per determinare l'equazione di una parabola


L'equazione di una parabola può esser determinata qualora si conoscano alcune sue proprietà; certe proprietà (come il vertice o il fuoco) sono più importanti e danno più informazioni.
Ecco alcuni esempi di condizioni sufficienti per determinare l'equazione di una parabola:

  1. si conosce il vertice (o il fuoco) e la retta direttrice;
  2. si conosce il vertice (o il fuoco) e un altro punto della parabola;
  3. si conosce il vertice e il fuoco;
  4. si conosce l'asse, la retta direttrice e un punto della parabola;
  5. si conoscono 2 coefficienti dell'equazione e un punto della parabola;
  6. si conosce un coefficiente dell'equazione e 2 punti della parabola;
  7. si conosce una retta tangente e 2 punti della parabola;
  8. si conoscono 3 punti appartenenti alla parabola;

Carattesistiche della parabola


Se conosciamo l'equazione di una parabola, possiamo calcolarci facilmente l'equazione della direttrice e dell'asse, e le coordinate del fuoco e del vertice (vedi figure 3), mediante le seguenti formule:

♦ Coordinate del vertice:

V = ( − b ⁄ 2a ; − Δ ⁄ 4a )

♦ Equazione dell'asse:

a:  x = − b ⁄ 2a

♦ Coordinate del fuoco:

F = ( − b ⁄ 2a ; (− Δ + 1) ⁄ 4a )

♦ Equazione della direttrice:

d:  y = (− Δ − 1) ⁄ 4a

Ricordiamo che Δ = b² − 4ac è il discriminante della parabola. Nella figura seguente è rappresentata una parabola generica con tutte le sue caratteristiche, secondo le formule scritte sopra, e gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani (vedi paragrafo seguente).

la parabola con le sue caratteristiche
Figura 3

Esempio 1. Determiniamo le caratteristiche della parabola di equazione:

y = x² + 4x + 3

In questa equazione a=1, b=4, c=3. Quindi Δ = 4² − 4(1)(3) = 4.
Partiamo dal vertice, essendo il punto più importante della parabola.

xV = − b ⁄ 2a = − 4 ⁄ 2 = − 2

yV = − Δ ⁄ 4a = − 4 ⁄ 4 = − 1

Il vertice ha coordinate V = (−2; −1). Di conseguenza l'asse di simmetria ha equazione:

x = − 2

Il fuoco possiede la stessa ascissa del vertice; l'ordinata si calcola:

yF = (−Δ+1) ⁄ 4a = (−4+1) ⁄ 4 = −3 ⁄ 4

Il fuoco ha coordinate F = (−2; −3 ⁄ 4).

Infine calcoliamo l'equazione della direttrice.

y = (−Δ−1) ⁄ 4a

y = (−3−1) ⁄ 4

y = −5 ⁄ 4

Intersezioni con gli assi


Per determinare i punti di intersezioni con gli assi, si deve studiare il sistema tra l'equazione della parabola e le equazioni degli assi.
Per l'asse y il sistema è tra le equazioni y = ax² + bx + c e x = 0, che si risolve con y = c; il punto di intersezione esiste sempre, e ha coordinate (0, c).
Per l'asse x il sistema è tra le equazioni y = ax² + bx + c e y = 0, che si risolve studiando l'equazione di II grado:

ax² + bx + c = 0

Esistono punti di intersezioni se e solo se quest'equazione ha soluzioni, ovvero se Δ ≥ 0; viceversa calcolare le soluzioni di un'equazione di II grado corrisponde a studiare le intersezioni tra una parabola e l'asse x.
Se esistono due soluzioni dell'equazione, x1 e x2, allora esistono due punti d'intersezione di coordinate (x1, 0) e (x2, 0).
Se l'equazione ha soluzioni coincidenti, ovvero se Δ = 0, allora esiste un solo punto in comune tra parabola e asse x, ed è un punto di tangenza.

Possiamo quindi osservare che:

  • Il coefficiente a rappresenta la curvatura della parabola: più grande è a, più stretta è la parabola; inoltre se a è positivo la parabola curva verso l'alto ed è tutta o quasi sopra l'asse x, se è negativo la parabola curva verso il basso ed è tutta o quasi sotto l'asse x.
  • Il coefficiente b indica l'inclinazione della parabola nel punto d'intersezione con l'asse y e influisce quindi sull'equazione dell'asse di simmetria: maggiore è il valore assoluto di b, più l'asse della parabola è lontano dall'asse y.
  • Il coefficiente c determina l'intersezione della parabola con l'asse y.
  • Il Δ determina la presenza di intersezioni tra la parabola e l'asse x.

Nelle seguenti tabelle sono elencati esempi di grafici di parabole, in relazione al segno di a e Δ:

a > 0
a > 0; Δ > 0 a > 0; Δ = 0 a > 0; Δ < 0
Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0


a < 0
a < 0; Δ > 0 a < 0; Δ = 0 a < 0; Δ < 0
Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0


Esempio 2. Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani della precedente parabola:

y = x² + 4x + 3

Asse x: poniamo la condizione y = 0.
Nell'equazione della parabola sostituiamo 0 al posto della y, ottendento l'equazione:

x² + 4x + 3 = 0

Risolvendo tale equazione, troviamo due soluzioni:
x1 = 1
x2 = 3

Ognuna di queste due soluzioni determina un punto di intersezione con l'asse delle x. Abbiamo quindi trovato i punti:
A = (1; 0)
B = (3; 0)

Asse y: poniamo la condizione x = 0.
Nell'equazione della parabola sostituiamo 0 al posto di ogni x, ottendento l'equazione:

y = (0)² + 4(0) + 3

Svolgendo i calcoli, troviamo la soluzione:
y = 3

Essa determina un punto di intersezione con l'asse delle y. Abbiamo quindi trovato un nuovo punto, di coordinate:
C = (0; 3)


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