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Equilibrio termico


Nella termodinamica si studia lo scambio di calore tra corpi diversi. Abbiamo visto in calorimetria che il calore è energia in transito, passa da un corpo ad un altro, in particolare:

Il calore tende per natura a spostarsi da un corpo caldo ad uno freddo.

In altre parole: la condizione naturale necessaria affiché ci sia passaggio di calore è che ci sia una differenza di temperatura; in tal modo il corpo più caldo cederà calore al corpo più freddo, e tale processo continuerà finché non si raggiungerà la stessa temperatura in entrambi i corpi.

Due corpi sono in Equilibrio termico tra loro se possiedono la medesima temperatura.

Possiamo fare anche il contrario, trasferire il calore da un corpo freddo ad uno caldo, ma questo processo non avviene in modo naturale, comporta l'impiego di energia dall'esterno.

La termodinamica si basa su alcuni princìpi, che descrivono le proprietà degli scambi di calore. Il principio base è quello che coinvolge l'equilibrio termico:

Principio zero della termodinamica

Se due sistemi termodinamici sono entrambi in equilibrio termico con un terzo sistema, allora i due sistemi sono in equilibrio termico anche tra loro.

Matematicamente parlando, la relazione di "esser in equilibrio termico" possiamo considerarla una relazione di equivalenza, e il principio zero non descrive altro che la proprietà transitiva di tale relazione.

Ricordiamo che lo scambio di calore tra corpi comporta le seguenti conseguenze, che dipendono dalla temperatura iniziale:

  1. se la temperatura corrisponde alla temperatura di fusione di un corpo, il calore può far passare di stato tale corpo da solido a liquido (o viceversa), o da solido a gas (o viceversa), secondo la legge Q = λF·m
  2. se la temperatura corrisponde alla temperatura di vaporizzazione di un corpo, il calore può far passare di stato il corpo da liquido a gas (o viceversa) secondo la legge Q = λV·m
  3. negli altri casi, il calore fa variare la temperatura di un corpo, secondo la legge Q = cs·m·ΔT

Quindi per arrivare all'equilibrio termico tra due corpi, la quantità di calore scambiata tra essi deve produrre una variazione di temperatura in entrambi, e la temperatura finale di essi deve essere la stessa.

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Temperatura di equilibrio


Nel caso più semplice in cui non siano coinvolti passaggi di stato, abbiamo che tutto il calore ceduto dal corpo caldo verso quello freddo va variare le temperature dei due corpi: il corpo caldo, cedendo calore, si raffredda e il corpo freddo, assorbendo calore, si riscalda.
Il tutto secondo la legge che uguaglia le due quantità di calore:

cs 1 · m1 · ΔT1   =   − cs 2 · m2 · ΔT2

Il segno meno del secondo membro è dovuto al fatto che il calore da una parte viene ceduto, dall'altra assorbito; esplicitando ΔT otteniamo:

cs 1 m1 (TE − T1)   =   cs 2 m2 (T2 − TE)

Essendo T1 la temperatura iniziale del primo corpo, T2 quella iniziale del secondo corpo e TE la temperatura finale di equilibrio per entrambi i corpi.
Da questa uguaglianza si può ricavare la formula per calcolare la temperatura finale di equilibrio, partendo da due corpi a temperatura diversa (sempre escludendo i passaggi di stato):

TE   =   (cs 1 m1 T1 + cs 2 m2 T2) / (cs 1 m1 + cs 2 m2)

Oppure, in alternativa, ricordando che la capacità termica è C = m · cs:

TE   =   (C1 T1 + C2 T2) / (C1 + C2)

Dal punto di vista matematico queste formule indicano che la temperatura di equilibrio si calcola facendo una media pesata delle temperature iniziali, dove i pesi sono le capacità termiche dei due corpi.

Esempio 1. In una vasca sono presenti 20 litri di acqua a 40°C; quanta acqua fredda a 10°C dobbiamo aggiungere per ottenere una temperatura di 35°C?

Dati.
volume 1:   𝒱1 = 20 ℓ   ⇒   0,02m³
temp. 1:   T1 = 40°C   ⇒   313K
volume 2:   𝒱2 = incognita
temp. 2:   T2 = 10°C;   ⇒   283K
densità acqua:   ρ = 1000kg/m³
calore sp.: cs = 4186 J/(kg·K)
temp. finale:   TE = 35°C;   ⇒   308K

Soluzione:
Per risolvere questo problema possiamo usare una qualunque delle precedenti formule; dal momento che conosciamo la temperatura di equilibrio ma non conosciamo una delle due temperature iniziali, conviene usare la prima formula, e risolverla come un'equazione per trovare T2.
Per prima cosa ricordiamo che la massa corrisponde a volume per densità:

m = 𝒱 ρ

Quindi la formula diventa:

cs 𝒱1 ρ (TE − T1)   =   cs 𝒱2 ρ (T2 − TE)

Osserviamo che in questa equazione il calore specifico (cs) e la densità (ρ) sono uguali in entrambi i volumi, per cui possiamo semplificarli e toglierli dall'equazione.

𝒱1 (TE − T1)   =   𝒱2 (T2 − TE)

Risolviamo questa equazione dividendo entrambi i membri per (T2 − TE) e isolando T2.

𝒱2   =   𝒱1 (TE − T1) ⁄ (T2 − TE)

Sostituiamo i valori noti e calcoliamo (tralasciando per comodità le unità di misura).

𝒱2   =   0,02 · (308 − 313) ⁄ (283 − 308)

𝒱2   =   0,02 · (−5) ⁄ (−25)

𝒱2   =   0,02 · 0,2

𝒱2   =   0,004

Conclusione: occorre aggiungere 0,004m³ (ossia 4 litri) di acqua fredda.

Nel caso invece che siano coinvolti anche passaggi di stato, occorre ampliare l'equazione iniziale, coinvolgendo tutte le quantità di calore che agiscono, sia per variare la temperatura sia per passare di stato; ad esempio se fossero coinvolti tutti i passaggi di stato di entrambi i corpi, otteniamo un'equazione di bilancio:

m1 (cs 1 ΔT1 + λF 1 + λV 1)   =   − m2 (cs 2 ΔT2 + λF 2 + λV 2)

Esempio 2. Immergiamo un cubo di 10 grammi di ghiaccio alla temperatura di −10°C in un bicchiere di 20 cℓ di acqua a 15°C. Quale sarà la temperatura finale di equilibrio?

Dati.
massa 1:   m1 = 10g   ⇒   0,01kg
temp. 1:   T1 = −10°C;   ⇒   263K
cal. sp. ghiaccio: cs 1 = 2040 J/(kg·K)
volume 2:   𝒱2 = 20cℓ   ⇒   0,0002m³
temp. 2:   T2 = 15°C;   ⇒   288K
cal. sp. acqua: cs 2 = 4186 J/(kg·K)
densità acqua:   ρ = 1000kg/m³
temp. di fusione:   TF = 273K
calore latente: λF = 334000 J/kg
temp. finale:   TE = incognita

Soluzione: in questo processo l'acqua cede calore al ghiaccio; la massa del ghiaccio è 0,01kg e si trova ad una temperatura inferiore, mentre quella dell'acqua (essendo: massa = volume × densità) corrisponde a m2 = 0,2kg e possiede una temperatura superiore: l'acqua si raffredda e il ghiaccio si riscalda.
Ma chi raggiungerà per primo la temperatura di fusione? l'acqua si raffredderà fino a ghiacciarsi? oppure il ghiaccio si scioglierà? oppure si arriverà ad una situazione intermedia? Occorre analizzare i vari calori scambiati.

  1. Quanto calore serve fornire al ghiaccio per arrivare alla temperatura di fusione?
    Q1 = cs 1 · m1 · ΔT1
    Q1 = (2040J/kg·K) · (0,01kg) · (10K)
    Q1 = 204J
  2. Quanto calore serve togliere all'acqua per arrivare alla temperatura di fusione?
    Q2 = cs 2 m2 · · ΔT2
    Q2 = (4186J/kg·K) · (0,2kg) · (15K)
    Q2 = 12558J
  3. Quanto calore serve a sciogliere il cubetto di ghiaccio?
    QF1 = λF m1
    QF1 = (334000J/kg) · (0,01kg)
    QF1 = 3340J
  4. Quanto calore serve a ghiacciare l'acqua nel bicchiere?
    QF2 = λF m2
    QF2 = (334000J/kg) · (0,2kg)
    QF2 = 668000J

Osservando le quantità di calore ottenute, si capisce che il calore ceduto dall'acqua per arrivare alla temperatura di fusione (Q2), senza neppure iniziare la solidificazione, è molto maggiore del calore necessario al ghiaccio per arrivare alla temperatura di fusione e anche per sciogliersi (Q1 + QF1). Di conseguenza l'acqua cederà meno calore, non arrivando alla temperatura di fusione, e al contrario il ghiaccio, dopo essersi completamente fuso, continuerà a riscaldarsi (da TF fino a TE, cambiando calore specifico da ghiaccio ad acqua).
L'equazione del bilancio di calore è quindi:

Q1 + QF1 + cs 2 m1 ΔT1 = − cs 2 m2 ΔT2

Q1 + QF1 + cs 2 m1 (TE − TF) = cs 2 m2 (T2 − TE)

Q1 + QF1 + cs 2 m1 TE − cs 2 m1 TF = cs 2 m2 T2 − cs 2 m2 TE

Iniziamo sostituendo e calcolando i calori noti e i prodotti tra masse e calori specifici (tralasciando per comodità le unità di misura):

204 + 3340 + 41,86·(TE − 273) = 837,2 (288K − TE)

3544 + 41,86·TE − 11428 = 241114 − 837,2·TE

Spostiamo al primo membro i termini incogniti e al secondo gli altri:

41,86·TE + 837,2·TE = 241114 − 3544 + 11428

879·TE = 248998

TE ≈ 283

Conclusione: la temperatura finale di equilibrio sarà di circa 283K, ossia di 10°C.

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