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Triangoli rettangoli - Triangoli e circonferenza - Triangoli qualunque

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Triangoli qualunque


Dai criteri di congruenza fra triangoli si osserva che è sufficiente conoscere pochi elementi (lati o angoli) per determinare con precisione la forma del triangolo.

Grazie ai risultati trigonometrici sui triangoli rettangoli siamo in grado di calcolarci i vari elementi di un triangolo, partendo da quelli noti.
Possiamo infatti considerare un qualunque triangolo come l'unione di due triangoli rettangoli: disegnando un'altezza del triangolo, si osserva come questo risulta la composizione di due triangoli rettangoli adiacenti.

Ecco alcuni risultati validi per qualunque tipo di triangolo.

TEOREMA DELL'AREA DI UN TRIANGOLO

L'area di un triagolo equivale al semi-prodotto tra due lati per il seno dell'angolo compreso.

Con riferimento alla figura 5, in formule otteniamo:

A   =   ½ b · c · sen (α)

triangoli qualunque
Figura 5

Ricordiamo che l'area del triangolo è la metà dell'area di ogni parallelogramma avente stessa base e stessa altezza del triangolo.
Di conseguewnza questa formula è utile anche in fisica, in quanto l'area del parallelogramma equivale al modulo del prodotto vettoriale, se consideriamo la lunghezza dei lati b e c come il modulo dei due vettori che si devono moltiplicare e α l'angolo tra essi compreso.

Una conseguenza molto utile del Teorema della Corda, è il seguente risultato:

TEOREMA DI EULERO (O DEI SENI)
In ogni triangolo è costante il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto
e tale rapporto equivale alla lunghezza del diametro del cerchio circoscrtitto al triangolo.

In formule:

a ⁄ sen (α)   =   b ⁄ sen (β)   =   c ⁄ sen (γ)   =   2R

Infatti queste non sono altro che le formule inverse del teorema della corda, applicato a ciascuno dei tre lati del triangolo inscritto nella circonferenza

Se a questa formula si aggiunge la proprietà che la somma degli angoli interni di un triangolo è π (ovvero 180°), si capisce come sia sufficiente conoscere tre elementi qualunque tra lati e angoli (di cui almeno un lato) per poter ricavare tutti gli altri.

TEOREMA DI CARNOT (O DEL COSENO)

In ogni triangolo il quadrato di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto dei due lati per il coseno dell'angolo compreso.

In formule:

a²   =   b² + c² − 2bc cos (α)

Per dimostrare questo teorema, si divide il triangolo iniziale in due triangoli rettangoli per mezzo dell'altezza h relativa al lato b; successivamente si applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente a come ipotenusa, sostituendo ai due cateti (incogniti) il loro valore in funzione dell'angolo α, ossia:

  • l'altezza:   h = c · sen (α);
  • la proiezione di a su b:   ab = c · cos (α);

sostituendo questi valori e svolgendo i calcoli, si ottiene il teorema di Carnot.

Osservazione: nel caso in cui α = π ⁄ 2 il triangolo è rettangolo e questa formula equivale a quella del Teorema di Pitagora: a² = b² + c²


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