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Triangoli rettangoli - Triangoli e circonferenza - Triangoli qualunque

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Triangoli & circonferenza


Anche la circonferenza è strettamente collegata ai triangoli rettangoli, in quanto ricordiamo che:

ogni triangolo rettangolo inscritto in una semi-circonferenza è rettangolo

teorema della corda
Figura 2

dove con inscritto in una semi-circonferenza intendiamo avente l'ipotenusa coincidente con il diametro del cerchio e il vertice dell'angolo retto sulla semi-circonferenza.

Collegato a questi risultati c'è un importante teorema.
Con riferimento alla figura 2, consideriamo il triangolo ABC: esso è rettangolo, avendo l'ipotenusa AB coincidente con il diametro, per cui:

AC = AB · sen(α)

in quanto l'angolo acuto α è opposto al cateto AC; inoltre α è un angolo alla circonferenza che insiste su AC, e tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su AC sono congruenti tra loro, come mostrato in figura; per cui questa formula vale per ogni angolo α che scegliamo.

Possiamo quindi dire che:

TEOREMA DELLA CORDA
In ogni circonferenza, la lunghezza di una corda (c) è uguale al prodotto fra la lunhezza del diametro (d) e il seno dell'angolo alla circonferenza (α) che insiste sulla corda.

In formule:

c = d · sen (α)

teorema delle corde
Figura 3

Da questo risultato si ottengono molte proprietà relative alla circonferenza e risultati importanti, eccone alcuni (per dimostrare questi risultati è sufficiente applicare opportunamente le similitudini tra triangoli).

Consideriamo una circonferenza Γ (gamma) e due corde AB e CD aventi un punto in comune M, i segmenti in cui sono divise rispettano una proporzione; infatti, con riferimento alla figura 3, possiamo osservare che i triangoli ADM e BCM sono simili, in quanto hanno tutti gli angoli congruenti (una coppia è opposta al vertice, le altre sono coppie di angoli alla circonferenza dello stesso arco); quindi si ottiene una proporzione tra i lati.

Formalizzando, giungiamo al seguente teorema:

TEOREMA DELLE CORDE
In ogni circonferenza, due corde aventi un punto in comune si dividono in segmenti le cui lunghezze sono in proporzione:

AM : CM = MD : MB

Da cui segue anche un'altra importante proprietà: infatti, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, si ottiene che:

AM · MB = CM · MD

Sia P un punto esterno alla circonferenza Γ e siano r e s due rette secanti la circonferenza; siano A e B i punti d'intersezione tra r e Γ, siano C e D quelli tra s e Γ. Allora i segmenti PA, PC, PD, PB sono in proporzione, ovvero:

TEOREMA DELLE SECANTI
Due rette secanti una circonferenza formano con essa 4 segmenti aventi le lunghezze in proporzione:

PA : PC = PD : PB

teoremi delle secanti e della tangente
Figura 4

Infatti, consideriamo i triangoli PBC e PAD della figura 4: essi hanno tutti e tre gli angoli congruenti (P in comune, B = C in quanto entrambi insistono sull'arco AC, gli altri per differenza) perciò sono simili.

Di conseguenza il rapporto tra i lati è costante, quindi: PA : PC = PD : PB, come afferma il teorema.

Possiamo considerare anche i segmenti PA, PC, CD, AB, anch'essi in proporzione per la regola dello scomporre delle proporzioni.

Nel caso in cui al posto di una secante vi sia una tangente, si ottiene un risultato simile: se per esempio la retta t (passante per P) è tangente alla circonferenza Γ nel punto E, allora i triangoli PBE e PEA sono simili, ottenendo quindi una proporzione tra le lunghezze dei 3 segmenti PA, PB e PE, dove quest'ultimo è medio proporzionale tra gli altri due, ovvero:

TEOREMA DELLA TANGENTE E DELLA SECANTE
Una retta tangente e una secante la circonferenza formano con essa 3 segmenti aventi le lunghezze in proporzione:

PA : PE = PE : PB


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