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Identità fondamentali - Archi associati - Formule goniometriche

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Formule goniometriche


Di seguito è riportato un elenco generale delle formule legate alle funzioni trigonometriche; alcune di queste sono un po' meno immediate da verificare, ma sono utili per semplificare le espressioni trigonometriche avanzate.

Formule principali

Identità fondamentali

sen²(α) + cos²(α) = 1

tan(α)   =
sen(α)
cos(α)
cot(α)   =
cos(α)
sen(α)

tan(α) · cot(α) = 1


Formule inverse

sen²(α)   =
tan²(α)
1 + tan²(α)
cos²(α)   =
1
1 + tan²(α)

Formule di addizione

sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β)

tan(α + β) =
tan(α) + tan(β)
1 − tan(α) tan(β)
cot(α + β) =
cot(α) cot(β) − 1
cot(α) + cot(β)

Formule di sottrazione

sen(α − β) = sen(α) cos(β) − cos(α) sen(β)

cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β)

tan(α − β) =
tan(α) − tan(β)
1 + tan(α) tan(β)
cot(α − β) =
cot(α) cot(β) + 1
cot(α) − cot(β)

Formule di duplicazione

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

cos(2α) = ⎧ cos²(α) − sen²(α)

⎨ 2cos²(α) − 1

⎩ 1 − 2sen²(α)
tan(2α) =
2tan(α)
1 − tan²(α)
cot(2α) =
cot²(α) − 1
2cot(α)

Formule di bisezione

sen(α ⁄ 2) = ±√(1 − cos(α) ∶ 2

cos(α ⁄ 2) = ±√(1 + cos(α)) ∶ 2

tan(α ⁄ 2)   =
sen(α)
1 + cos(α)
cot(α ⁄ 2)   =
sen(α)
1 − cos(α)

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Formule secondarie

Formule parametriche

sen(α)   =
2 t
1 + t²
cos(α)   =
1 − t²
1 + t²
tan(α)   =
2 t
1 − t²
cot(α)   =
1 − t²
2 t

[ essendo:   t = tan (α ⁄ 2) ]


Formule di Werner

sen(α) sen(β) = ½ [ cos(α − β) − cos(α + β) ]

cos(α) cos(β) = ½ [ cos(α − β) + cos(α + β) ]

sen(α) cos(β) = ½ [ sen(α − β) + sen(α + β) ]


Formule di Prostaferesi

sen(α) + sen(β) = 2 sen(λ) cos(μ)

sen(α) − sen(β) = 2 cos(λ) sen(μ)

cos(α) + cos(β) = 2 cos(λ) cos(μ)

cos(α) − cos (β) = − 2 sen (λ) sen (μ)

[ essendo:   λ = (α + β) ⁄ 2   e   μ = (α − β) ⁄ 2 ]


Formule che derivano da Prostaferesi

tan(α) + tan(β)   =
sen(α + β)
cos(α) cos(β)
tan(α) − tan(β)   =
sen(α − β)
cos(α) cos(β)
cot(α) + cot(β)   =
sen(α + β)
sen(α) sen(β)
cot(α) − cot(β)   = −
sen(α − β)
sen(α) sen(β)

Formule varie

sec(α)   =
1
cos(α)
csc(α)   =
1
sen(α)
tan(α) + cot(α)   =
1
sen(α) · cos(α)
sec²(α) + csc²(α) =
1
sec²(α) · csc²(α)

sen(α) · csc(α) = 1

cos(α) · sec(α) = 1

sen(α) · sec(α) = tan(α)

cos(α) · csc(α) = cot(α)

Nella sezione download è possibile scaricare un file pdf con le relazioni e le formule goniometriche.

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