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Relazioni fondamentali - Angoli associati - Formule goniometriche

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Formule goniometriche
Formule principali
Formule secondarie

Formule goniometriche

Di seguito è riportato un elenco generale delle formule legate alle funzioni trigonometriche; tali formule derivano da osservazioni che si possono fare sulla circonferenza goniomentrica, oppure da calcoli algebrici partendo dalle fomule base; alcune di queste sono un po' meno immediate da verificare, ma sono utili per semplificare le espressioni trigonometriche avanzate.

Ricordiamo che in ogni formula in cui compaiono la tangente, la secante, o in generale il coseno al denominatore, vale la condizione:

α ≠ π ⁄ 2 + kπ, con k ∈ ℤ

Analogamente in ogni formula in cui compaiono la cotangente, la cosecante, o in generale il seno al denominatore, vale la condizione:

α ≠ kπ, con k ∈ ℤ

⋄ Formule principali ⋄

✓ Relazioni fondamentali

sen²(α) + cos²(α) = 1

tan(α) =	sen(α)cos(α)
cot(α) =	cos(α)sen(α)

tan(α) · cot(α) = 1

✓ Formule inverse

sen²(α) =	tan²(α)1 + tan²(α)
cos²(α) =	11 + tan²(α)

✓ Formule di addizione

sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)

cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)

tan(α + β) =	tan(α) + tan(β)1 − tan(α) tan(β)
cot(α + β) =	cot(α) cot(β) − 1cot(α) + cot(β)

✓ Formule di sottrazione

sen(α − β) = sen(α)cos(β) − cos(α)sen(β)

cos(α − β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)

tan(α − β) =	tan(α) − tan(β)1 + tan(α) tan(β)
cot(α − β) =	cot(α) cot(β) + 1cot(α) − cot(β)

✓ Formule di duplicazione

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

cos(2α) =

⎧ cos²(α) − sen²(α)
⎪
⎨ 2cos²(α) − 1
⎪
⎩ 1 − 2sen²(α)

tan(2α) =	2tan(α)1 − tan²(α)
cot(2α) =	cot²(α) − 12cot(α)

✓ Formule di bisezione

sen(α ⁄ 2) = ±√(1 − cos(α) ∶ 2

cos(α ⁄ 2) = ±√(1 + cos(α)) ∶ 2

tan(α ⁄ 2) =	sen(α)1 + cos(α)
cot(α ⁄ 2) =	sen(α)1 − cos(α)

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⋄ Formule secondarie ⋄

✓ Formule parametriche

sen(α) =	2 t1 + t²
cos(α) =	1 − t²1 + t²
tan(α) =	2 t1 − t²
cot(α) =	1 − t²2 t

[ essendo: t = tan (α ⁄ 2) ]

✓ Formule di Werner

sen(α)sen(β) = ½ [ cos(α−β) − cos(α+β) ]

cos(α)cos(β) = ½ [ cos(α−β) + cos(α+β) ]

sen(α)cos(β) = ½ [ sen(α−β) + sen(α+β) ]

✓ Formule di Prostaferesi

sen(α) + sen(β) = 2 sen(λ) cos(μ)

sen(α) − sen(β) = 2 cos(λ) sen(μ)

cos(α) + cos(β) = 2 cos(λ) cos(μ)

cos(α) − cos (β) = − 2 sen (λ) sen (μ)

essendo:
λ = (α + β) ⁄ 2
μ = (α − β) ⁄ 2

✓ Formule che derivano da Prostaferesi

tan(α) + tan(β) =	sen(α + β)cos(α) cos(β)
tan(α) − tan(β) =	sen(α − β)cos(α) cos(β)
cot(α) + cot(β) =	sen(α + β)sen(α) sen(β)
cot(α) − cot(β) = −	sen(α − β)sen(α) sen(β)

✓ Formule varie

sec(α) =	1cos(α)
csc(α) =	1sen(α)

tan(α) + cot(α) =	1 sen(α) · cos(α)
sec²(α) + csc²(α) =	1 sec²(α) · csc²(α)

sen(α) · csc(α) = 1

cos(α) · sec(α) = 1

sen(α) · sec(α) = tan(α)

cos(α) · csc(α) = cot(α)

Nella sezione download è possibile scaricare un file pdf con le relazioni e le formule goniometriche.

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