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Formule goniometriche

Di seguito è riportato un elenco generale delle formule legate alle funzioni trigonometriche; alcune di queste sono un po' meno immediate da verificare, ma sono utili per semplificare le espressioni trigonometriche avanzate.

Formule principali

♦ Identità fondamentali ♦

sen²(α) + cos²(α) = 1

tan(α) =	sen(α)cos(α)
cot(α) =	cos(α)sen(α)

tan(α) · cot(α) = 1

♦ Formule inverse ♦

sen²(α) =	tan²(α)1 + tan²(α)
cos²(α) =	11 + tan²(α)

♦ Formule di addizione ♦

sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β)

tan(α + β) =	tan(α) + tan(β)1 − tan(α) tan(β)
cot(α + β) =	cot(α) cot(β) − 1cot(α) + cot(β)

♦ Formule di sottrazione ♦

sen(α − β) = sen(α) cos(β) − cos(α) sen(β)

cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β)

tan(α − β) =	tan(α) − tan(β)1 + tan(α) tan(β)
cot(α − β) =	cot(α) cot(β) + 1cot(α) − cot(β)

♦ Formule di duplicazione ♦

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

cos(2α) =

⎧ cos²(α) − sen²(α)
⎪
⎨ 2cos²(α) − 1
⎪
⎩ 1 − 2sen²(α)

tan(2α) =	2tan(α)1 − tan²(α)
cot(2α) =	cot²(α) − 12cot(α)

♦ Formule di bisezione ♦

sen(α ⁄ 2) = ±√(1 − cos(α) ∶ 2

cos(α ⁄ 2) = ±√(1 + cos(α)) ∶ 2

tan(α ⁄ 2) =	sen(α)1 + cos(α)
cot(α ⁄ 2) =	sen(α)1 − cos(α)

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Formule secondarie

♦ Formule parametriche ♦

sen(α) =	2 t1 + t²
cos(α) =	1 − t²1 + t²
tan(α) =	2 t1 − t²
cot(α) =	1 − t²2 t

[ essendo: t = tan (α ⁄ 2) ]

♦ Formule di Werner ♦

sen(α) sen(β) = ½ [ cos(α − β) − cos(α + β) ]

cos(α) cos(β) = ½ [ cos(α − β) + cos(α + β) ]

sen(α) cos(β) = ½ [ sen(α − β) + sen(α + β) ]

♦ Formule di Prostaferesi ♦

sen(α) + sen(β) = 2 sen(λ) cos(μ)

sen(α) − sen(β) = 2 cos(λ) sen(μ)

cos(α) + cos(β) = 2 cos(λ) cos(μ)

cos(α) − cos (β) = − 2 sen (λ) sen (μ)

[ essendo: λ = (α + β) ⁄ 2 e μ = (α − β) ⁄ 2 ]

♦ Formule che derivano da Prostaferesi ♦

tan(α) + tan(β) =	sen(α + β)cos(α) cos(β)
tan(α) − tan(β) =	sen(α − β)cos(α) cos(β)
cot(α) + cot(β) =	sen(α + β)sen(α) sen(β)
cot(α) − cot(β) = −	sen(α − β)sen(α) sen(β)

♦ Formule varie ♦

sec(α) =	1cos(α)
csc(α) =	1sen(α)

tan(α) + cot(α) =	1 sen(α) · cos(α)
sec²(α) + csc²(α) =	1 sec²(α) · csc²(α)

sen(α) · csc(α) = 1

cos(α) · sec(α) = 1

sen(α) · sec(α) = tan(α)

cos(α) · csc(α) = cot(α)

Nella sezione download è possibile scaricare un file pdf con le relazioni e le formule goniometriche.

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