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Identità fondamentali - Archi associati - Formule goniometriche

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Archi associati


Nei riquadri successivi sono elencati le relazioni più comuni tra due angoli (o archi), per cui è possibile collegare un qualunque angolo del piano cartesiano ad un angolo del primo quadrante.

Nelle figure laterali l'arco AP insiste sull'angolo AÔP, che ha ampiezza α, mentre l'arco AQ insiste sull'angolo AOQ, di ampiezza β (entrambi misurati in senso anti-orario, partendo da A, come indicato dalle frecce tratteggiate).
OH e HP sono rispettivamente il coseno e il seno di α, OK e KP sono rispettivamente il coseno e il seno di β; cliccate sulle varie immagini per ingrandirle.

♦ Angoli opposti ♦

Relazione:

α + β = 0

β = −α


Formule:

  sen (β) = − sen (α)

  cos (β) = cos (α)

  tan (β) = − tan (α)

  cot (β) = − cot (α)

Archi opposti
Figura 3

Angoli di stessa ampiezza ma verso opposto.

α e β definiscono i punti P e Q simmetrici rispetto all'asse x.

♦ Angoli esplementari ♦

Relazione:

α + β = 2π

β = 2π − α


Formule:

  sen (β) = − sen (α)

  cos (β) = cos (α)

  tan (β) = − tan (α)

  cot (β) = − cot (α)

Angoli che insieme formano un angolo giro.

α e β definiscono i punti P e Q simmetrici rispetto all'asse x.

(stessa situazione grafica degli angoli opposti)

♦ Angoli supplementari ♦

Relazione:

α + β = π

β = π − α


Formule:

  sen (β) = sen (α)

  cos (β) = − cos (α)

  tan (β) = − tan (α)

  cot (β) = − cot (α)

Archi supplementari
Figura 4

Angoli che insieme formano un angolo piatto.

α e β definiscono i punti P e Q simmetrici rispetto all'asse y.

♦ Angoli che differiscono di π ♦

Relazione:

β − α = π

β = π + α


Formule:

  sen (β) = − sen (α)

  cos (β) = − cos (α)

  tan (β) = tan (α)

  cot (β) = cot (α)

Archi che differiscono di π
Figura 5

Angoli la cui differenza è un angolo piatto.

α e β definiscono i punti P e Q simmetrici rispetto all'origine degli assi.

♦ Angoli complementari ♦

Relazione:

α + β = π/2

β = π/2 − α


Formule:

  sen (β) = cos (α)

  cos (β) = sen (α)

  tan (β) = cot (α)

  cot (β) = tan (α)


Archi complementari
Figura 6

Angoli che insieme formano un angolo retto.

α e β definiscono i punti P e Q simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

♦ Angoli che differiscono di π/2 ♦

Relazione:

β − α = π/2

β = π/2 + α


Formule:

  sen (β) = cos (α)

  cos (β) = − sen (α)

  tan (β) = − cot (α)

  cot (β) = − tan (α)

Archi che differiscono di π/2
Figura 7

Angoli la cui differenza è un angolo retto.

β è il supplementare del complementare di α.
(simmetria composta)

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