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Introduzione - Baricentro e Ortocentro - Incentro e Circocentro

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La bisettrice & l'incentro



La bisettrice di un angolo è una semiretta che parte dal vertice dell'angolo, dividendolo in due angoli congruenti.

Da ogni vertice partono 4 bisettrici (a due a due adiacenti e opposte). In un triangolo per bisettrice interna si intende la bisettrice di un angolo interno al triangolo, per la precisione il segmento di bisettrice che unisce il vertice al lato opposto.
Per bisettrice esterna si intende la bisettrice dell'angolo esterno, in particolare ciascuno dei due segmenti di bisettrice che uniscono il vertice con i prolungamento dei lati opposti.

Proprietà

  • La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai due lati dell'angolo.
  • Un triangolo possiede tre bisettrici interne, e sei bisettrici esterne (poste su tre rette).
  • Ogni bisettrice interna è perpendicolare alle relative bisettrici esterne.
  • Ogni bisettrice interna divide il lato opposto in due segmenti proporzionali ai restanti due lati del triangolo.
  • Le tre bisettrici esterne, prolungate, formano un triangolo circoscritto le cui altezze corrispondono alle bisettrici interne del triangolo iniziale.

L'incentro di un triangolo è il punto d'incontro delle 3 bisettrici interne.

L'incentro è sempre interno al triangolo.

incentro
Figura 4

L'incentro è equidistante dai tre lati del triangolo; per questo coincide con il centro della circonferenza inscritta al triangolo (da qui il suo nome).
Il raggio di questa circonferenza è uguale al rapporto tra l'area del triangolo e il semiperimetro:

r = A ⁄ p

La figura 4 è un esempio di triangolo con le tre bisettrici e l'incentro.

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L'asse & il circocentro



L'asse di un segmento è una retta perpedicolare al segmento,
passante per il suo punto medio.

Proprietà

  • L'asse è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
  • Ogni triangolo possiede 3 assi (uno per ogni lato) che lo attraversano.

Il circocentro di un triangolo è il punto d'intersezione dei 3 assi.

Il circocentro è interno nei triangoli acutangoli, esterno in quelli ottusangoli, mentre nei triangoli rettangoli coincide col punto medio dell'ipotenusa.

circocentro
Figura 5

Il circocentro è equidistante dai tre vertici del triangolo; per questo coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo (da qui il suo nome); il raggio di questa circonferenza è uguale al rapporto tra il prodotto dei tre lati e il quadruplo dell'area del triangolo:

R = abc ⁄ 4A

Unendo il circocentro con due dei vertici del triangolo, si ottiene un triangolo isoscele.

La figura 5 è un esempio di triangolo con i 3 assi e il circocentro.

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