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Introduzione - Baricentro e Ortocentro - Incentro e Circocentro

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La mediana & il baricentro



La mediana è il segmento che unisce un vertice del triangolo
con il punto medio del lato opposto.

Proprietà

  • Ogni triangolo possiede 3 mediane, ed esse sono sempre interne al triangolo.
  • Ogni mediana divide il triangolo in 2 triangoli equivalenti (di ugual area).
  • Il triangolo mediano è il triangolo che si ottiene unendo i 3 punti medi dei lati; tale triangolo ha i lati paralleli al triangolo originale, per cui i due triangoli sono simili.

Il baricentro di un triangolo è il punto d'intersezione delle 3 mediane.

Il baricentro è sempre interno al triangolo.

baricentro
Figura 1

Anche il baricentro del triangolo mediano coincide con il baricentro del triangolo originale.

In fisica è utile conoscere il baricentro in quanto, se il peso è uniforme, corrisponde con il centro di massa, il punto in cui si ha equilibrio.

In geometria analitica per trovare le coordinate del baricentro è sufficiente fare la media fra le 3 ascisse e la media fra le 3 ordinate dei vertici del triangolo.

La figura 1 è un esempio di triangolo con le 3 mediane e il baricentro.

L'altezza & l'ortocentro



L'altezza di un triangolo è un segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto (o un su suo prolungamento).

Proprietà

  • Ogni triangolo possiede 3 altezze: una per ogni vertice.
  • Nei triangoli acutangoli le altezze sono tutte interne, mentre in quelli ottusangoli le altezze che partono dagli angoli acuti sono esterne, quella relativa all'angolo ottuso è interna.
  • Nei triangoli rettangoli le altezze relative agli angoli acuti coincidono con il cateto adiacente, mentre l'altezza relativa all'angolo retto è interna e divide il triangolo in due triangolini simili al triangolo iniziale.
  • In un triangolo acutangolo, i punti d'intersezione tra le altezze e i relativi lati formano un triagolo chiamato triangolo di Schwartz, o triangolo ortico: tale triangolo è quello di perimetro minimo tra tutti quelli incritti nel triangolo di partenza; le altezze del triangolo esterno corrispondono alle bisettrici del triangolo di Schwartz.

L'ortocentro di un triangolo è il punto d'intersezione delle 3 altezze.

L'ortocentro è interno nei triangoli acutangoli, esterno in quelli ottusangoli, mentre nei triangoli rettangoli coincide col vertice dell'angolo retto.

ortocentro
Figura 2

L'ortocentro possiede una proprità davvero unica: consideriamo i 3 vertici di un triangolo e l'ortocentro come quarto punto; qualunque triangolo creiamo con 3 di questi 4 punti, allora il punto rimanente è l'ortocentro del triangolo creato.

L'ortocentro di un triangolo coincide con l'incentro del triangolo di Schwartz ad esso inscritto

La figura 2 è un esempio di triangolo con le tre altezze e l'ortocentro.


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