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Introduzione - Solidi e liquidi - Gas perfetti - Legge di stato

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La legge di stato dei gas perfetti


Durante una trasformazione di un gas, in generale le tre grandezze pressione, volume e temperatura variano e si condizionano reciprocamente; ma come abbiamo visto, sono legate tra loro dalle legge di Avogadro; possiamo perciò sfruttare le leggi di Gay-Lussac e di Boyle-Mariotte per formulare un'unica relazione tra queste grandezze; in particolare usiamo le formule che coinvolgono le temperature assolute, per avere relazioni più semplici.

Legge di stato dei gas perfetti (1)

In un gas perfetto il prodotto tra pressione e volume è direttamente proporzionale alla propria temperatura assoluta.

p · 𝒱   ∶   T   =   p0 · 𝒱0   ∶   T0

Questa formula ci permette, tramite opportune proporzioni, di calcolare le grandezze incognite conoscendo le condizioni iniziali del gas, e alcune gradezze finali. Inoltre la legge dei gas perfetti generalizza e racchiude in s´ le leggi di Gay-Lussac e di Boyle-Mariotte.

Esempio 6. Un gas subisce una compressione in cui il volume si dimezza e la pressione triplica; sapendo che la temperatura iniziale è 50°C, troviamo la temperatura finale

Dati:
𝒱 = 𝒱0 · 0,5
p = p0 · 3
Θ0 = 50°C   ⇒   T0 = 323,15K
Θ = incognita

Soluzione:
Usiamo la legge di stato, da cui esplicitiamo T:

p·𝒱   ∶   T   =   p0·𝒱0   ∶   T0

T = (T0 p·𝒱)   ∶   (p0·𝒱0)

Sostituiamo i dati noti, lasciando gli altri con le lettere:

T = (323,15K) · 3p0 · 0,5𝒱0   ∶   (p0·𝒱0)

Possiamo semplificare i due 𝒱0 e anche i due p0:

T = (323,15K) · 3 · 0,5

T = 484,725K

Conclusione: la temperatura finale è circa 485K, ossia 212°C.

La legge di Avogadro afferma che questo rapporto costante dipende solo dalla quantità di sostanza, quindi dal numero di moli del gas (vedi qui), ossia:

p0 · 𝒱0   ∶   T0   ≡   n · R

Dove n è il numero di moli, mentre R una costante di proporzionalità. In questo modo la legge di stato può esser riscritta in quest'altra forma:

p · 𝒱   ∶   T   =   n · R

Da cui, moltiplicando a sinistra e a destra per T, otteniamo una nuova espressione della legge:

Legge di stato dei gas perfetti (2)

p · 𝒱   =   n · R · T

La costante R vale circa 8,31J/K·mol, ed è chiamata costante dei gas perfetti.

Indicando con N il numero totale di molecole presenti in un gas, e ricordando che N = n · NA, possiamo riscrivere la legge in una ulteriore forma:

Legge di stato dei gas perfetti (3)

p · 𝒱   =   N · kB · T

Essendo kB una costante data da R ⁄ NA. Tale costante si chiama costante di Boltzmann e vale circa 1,38 · 10−23J/K.

Esempio 7. Quanto volume occupano 2 moli di un gas perfetto, a temperatura di 20°C e alla pressione di 1,5 · 105Pa?

Dati:
𝒱 = incognita
p = 1,5 · 105Pa
Θ = 20°C   ⇒   T0 = 293,15K
n = 2
R = 8,31J/K·mol

Soluzione:
In questa situazione usiamo la seconda formulazione della legge di stato, da cui esplicitiamo 𝒱:

p · 𝒱 = n · R · T

𝒱 = n · R · T ⁄ p

Sostituiamo i dati noti:

𝒱 = (2 · 8,31 · 293,15 / 1,5·105)m³

𝒱 = 3248 · 10−5

𝒱 = 0,03248m³

Conclusione: il gas occupa un volume di 0,03248m³, ossia 32,48dm³.

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