Introduzione - Momento d'inerzia - Dinamica rotazionale - Tralazione e rotazione

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Parallelismo tra traslazione e rotazione
Moto roto-traslatorio
Il Rotolamento

Parallelismo tra traslazione e rotazione

Tutte le grandezze e le formule coinvolte nello studio della rotazione dei corpi corrispondono a determinate grandezze e formule nello studio classico (movimento traslazionale).
Confrontiamo le principali grandezze.

Confrontiamo ora le principali leggi e teoremi.

In particolare il teorema dell'energia cinetica è valido in entrabe le forme:

Dove con W_{A → B} si intende il lavoro per portare un corpo da una situazione A una situazione B.

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Moto roto-traslatorio

Come è facile osservare da quello che è stato detto, le grandezze e le formule utilizzate per descrivere il moto rotatorio di un corpo si integrano alla perfezione con quelle già note per descrivere il moto classico di un corpo, quello traslazionale.

Nel caso di un punto materiale, esso non ha un moto rotazionale intorno a se stesso, può avere un moto rotazionale intorno ad un centro esterno; ma in tal caso questo moto può esser visto come un moto circolare, quindi traslatorio. Dunque per quanto riguarda il punto materiale non si hanno grandi sorprese.

Nel caso invece di un corpo rigido, questi può muoversi in due modi diversi: sia traslando, sia ruotando su se stesso, e questi due moti sono indipendenti, possono verificarsi contemporaneamente: si parla quindi di moto roto-traslatorio. È quello che avviene quando ad esempio, si tira un pallone con un tiro ad effetto, o quando lasciamo un frisbee, o più in generale quando studiamo il moto dei pianeti.

Per lo studio del moto roto-traslatorio è utile separare i due moti e studiarli in modo distinto; ricordiamo che un corpo, libero di ruotare non soggetto a vincoli, ruota intorno al suo centro di massa. Per cui avremo:

• il moto traslatorio del corpo si studia come il moto di un punto materiale, coincidente con il centro di massa del corpo;
• il moto rotatorio del corpo si studia come una rotazione in un corpo intorno al suo centro di massa, ignorando la rotazione.

Il moto complessivo viene fuori dalla sovrapposizione dei due moti, e questo si ottiene sommando vettorialmente le grandezze sudiate dai due punti di vista.
Ad esempio la velocità di un generico punto v(P) del corpo si ottiene sommando il vettore velocità tangenziale v_T(P) del punto rispetto al centro di massa con il vettore velocità v_CM del centro di massa rispetto all'esterno:

v(P) = v_T(P) + v_CM

Analogo ragionamento si fa per le altre grandezze vettoriali, come la posizione, lo spostamento o l'accelerazione.

Anche il lavoro e l'energia cinetica possieduta da un corpo in moto roto-traslatorio si ottiengono studiando separatamente i due moti; nello specifico:

Dal momento che lavoro ed energia sono grandezze scalari, il valore risultante si ottiene con una normale somma aritmetica:

K = K_Trasl + K_Rot = ½ m v² + ½ ℐ ω²

Da cui possiamo generalizzare:

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Il Rotolamento

Il fenomeno del rotolamento si ha quando un corpo (generalmente di forma circolare) non riesce a vincere l'attrito statico con la superficie e, per poter avanzare, invece di traslare inizia a ruotare: fintantoch´ l'attrito statico non viene superato, la rotazione provoca un avanzamento.

Osserviamo che, dal momento che c'è attrito statico, in ogni istante il punto di contatto tra il corpo e la superficie è fermo; ovviamente questa è una situazione istantanea, non costante: il punto di contatto è fermo rispetto alla superficie, mentre tutti gli altri si muovono; l'istante successivo cambia il punto di contatto, per cui un altro punto rimane fermo, e tutti gli altri si muovono.

Il moto di un corpo che rotola può esser visto come una traslazione combinata con una rotazione: il corpo trasla lungo la superficie e contemporaneamente ruota su se stesso. Mettendoci nel punto di vista del corpo, èè come se la superficie scorresse e provocasse la rotazione del corpo intorno al suo centro, di conseguenza il centro resta fermo e la velocità tangenziale di rotazione corrisponde alla velocità con cui la superficie scorre. Tornando nel punto di vista esterno quindi, il centro di rotazione avanza con moto rettilineo, la cui velocità è in modulo uguale alla velocità tangenziale di rotazione. Possiamo dire che:

Essendo v_CM è il vettore velocità del centro di massa, v_T è il vettore velocità tangenziale rispetto al centro di massa.
Ricordiamo che il vettore velocità totale risultante v in un generico punto è dato dalla somma vettoriale:

v = v_CM + v_T

Ovviamente essendo una somma vettoriale, il risultato dipende dall'angolo tra i due vettori; in particolare:

• nel centro di massa v_T = 0, quindi: v = v_CM
• nel centro più in basso (di contatto con la superficie) v_T = −v_CM, quindi: v = 0
• nel punto più in alto v_T = v_C, quindi: v = 2v_CM

Abbiamo visto che un corpo possiede un'energia cinetica ogni volta che si muove e che questa energia si può manifestare in due forme, a seconda che un corpo trasli oppure rotoli:

K = ½ m v² + ½ ℐ ω²

Nel rotolamento avviene che |v_C| = |v_T|, dove possiamo scrivere v_C = v_T = ω R, essendo ω la velocità angolare e R il raggio. Di conseguenza l'enegia cinetica vale:

K = ½ m v_C² + ½ ℐ ω² =

= ½ m ω² R² + ½ ℐ ω²

= ½ ω² (m R² + ℐ)

Concludendo:

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