Introduzione - Momento d'inerzia - Dinamica rotazionale - Tralazione e rotazione

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CONTENUTO DELLA PAGINA
Conservazione del momento angolare
Variazione del momento angolare
Lavoro ed energia

Conservazione del momento angolare

Nella rotazione il momento angolare ci fornisce un'informazione sullo stato di rotazione di un corpo; essendo legato alla velocità esso tende a rimanere costante, fintantoché non agiscono forze; per esser più precisi:

Supponiamo ad esempio che un corpo di massa m ruoti di moto circolare, con una velocità tangenziale v₁ ad una distanza dal centro (quindi il braccio) b₁; se la distanza del corpo dal centro subisce una variazione, passando a b₂ senza l'intervento di forze esterne, allora varierà anche la sua velocità tangenziale v₂, secondo la relazione:

b₁ · m v₁ = b₂ · m v₂

Dove, se m rimane costante:

Se il momento angolare si conserva, il momento di inerzia e la velocità angolare variano in modo inversamente proporzionale:

Nel caso in cui il momento angolare è costante, se non varia il momento di inerzia, allora anche la velocità angolare è costante, quindi si ottiene un moto circolare uniformeme.

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Variazione del momento angolare

Abbiamo visto che la forza, agendo in un determinato intervallo di tempo, può modificare la velocità di un corpo, facendolo curvare, o accelerando o decelerando il moto (II principio della dinamica), secondo lo schema:

Forza (agente nel tempo)
  ⇓  
Variazione di quantità di moto
  ⇓  
Variazione di velocità

Questo schema, che richiama il secondo principio della dinamica, è sintetizzato dalla formula:

Vale uno schema analogo anche per la rotazione, in quanto il momento di una forza può modificare lo stato di rotazione di un corpo, mettendolo in rotazione, o accelerando o decelerando la rotazione:

Momento meccanico (agente nel tempo)
  ⇓  
Variazione di momento angolare
  ⇓  
Variazione di velocità angolare

Se quindi vogliamo modificare il momento angolare, dobbiamo applicare un momento meccanico, ossia una forza che non sia diretta lungo il centro di rotazione (altrimenti il momento della forza sarebbe nullo).
Il momento meccanico è quindi direttamente responsabile del cambiamento di momento angolare nel tempo, proprio come la forza è responsabile di un cambio di quantità di moto nel tempo, ossia:

Nel caso in cui in un corpo agisce un momento meccanico, il momento angolare non si conserva, quindi si può avere una variazione sia del momento di inerzia sia della velocità angolare: in entrambi i casi si ottiene infatti una variazione di momento angolare; per semplicità conviene supporre che vari solamente uno dei due. Estendiamo quindi il secondo principio in questo modo:

Se ℐ è costante:   ⇒   ΔL = ℐ Δω

Se ω è costante:   ⇒   ΔL = ω Δℐ

Possiamo quindi riscrivere il secondo principio, supponendo che il momento di inerzia resti costante, nel seguente modo:

M Δt = ℐ Δω

E dividendo per Δt da entrambe le parti otteniamo:

Essendo ℐ il momento angolare e α = Δω ⁄ Δt l'accelerazione angolare del corpo.
Il momento meccanico che agisce su un corpo è quindi direttamente proporzionale all'accelerazione angolare che viene provocata sul corpo, in modo analogo al rapporto che c'è tra la forza e l'accelerazione.

Nel caso in cui il momento meccanico è costante, se non varia il momento di inerzia, allora anche l'accelerazione angolare è costante, quindi si ottiene un moto circolare uniformemente accelerato.

Osservazione: questo esercizio poteva esser risolto anche in un altro modo, ossia calcolando l'accelerazione angolare e applicando la formula del moto circolare uniformemente accelerato:

Δω = α Δt

Ovviamente possiamo estendere anche il terzo principio al discorso rotazionale:

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Lavoro ed energia

Ogni forza può modificare lo stato di inerzia di un corpo; inoltre se la componente della forza parallela allo spostamento non è nulla, la forza provoca un lavoro e questo, come sappiamo, modifica l'energia cinetica di un corpo, quindi la sua velocità.

Possiamo studiare il lavoro di una forza anche dal punto di vista rotazionale.

Consideriamo un punto materiale che è fermo nel punto A di una circonferenza di raggio r = OA, come in figura 1.

Supponiamo che su questo corpo agisca una forza costante F che lo sposti fino al punto B, per un tratto di circonferenza AB = ℓ abbastanza piccolo da poterlo supporre rettilineo; quindi lo spostamento Δs corrisponde all'arco di circonferenza AB (Δs ≈ ℓ), la cui lunghezza è:

ℓ = θ r

Dove r è il raggio OA della circonferenza e θ l'angolo al centro che insiste sull'arco AB.
Il lavoro che essa produce è:

W = ℓ F cos(β) = θ r F _||

Possiamo osservare che r F_|| corrisponde al momento della forza F rispetto al centro O; ricordando che il momento si può scrivere anche M = ℐ α, sostituiamo nella formula del lavoro:

W = θ M = θ ℐ α

La forza F è costante, dunque possiamo utilizzare le formule del moto circolare uniformemente accelerato, in particolare quella che non coinvolge il tempo:

θ = (ω² − ω₀²) ⁄ 2α

Essendo ω la velocità angolare finale, ω₀ quella iniziale, che è nulla, e α l'accelerazione; angolare.
Sostituendo θ nella formula del lavoro:

W = (ω² ⁄ 2α) ℐ α

Da cui si ottiene:

Questo è il lavoro dovuto al momento della forza, per accelerare un corpo inizialmente fermo fino ad una velocità angolare data; anch'esso è responsabile quindi delle variazioni di energia cinetica:

W = ΔK

Infatti ogni corpo che ruota su se stesso possiede un'energia cinetica rotazionale, data da:

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