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CONTENUTO DELLA PAGINA
Calcolo dei limiti
Algebra dei limiti
Formule

Calcolo dei limiti

Abbiamo visto come verificare un limite, tuttavia spesso è necessario calcolare tale valore, ammesso che esista.
Infatti non è scontato che esista un valore numerico limite per la funzione, può accadere che il limite sia infinito, o che non esista proprio alcun limite!

Nel calcolo dei limiti quindi dobbiamo mettere in conto di affrontare casi algebricamente non facili, o in alcuni casi impossibili, se affrontati in da un punto di vista tradizionale.

Per poter capire e familiarizzare con le regole di calcolo dei limiti la cosa fodamentale è cambiare ottica: nel calcolo dei limiti talvolta non si tratta di calcolare la funzione partendo da un valore di x assegnato, ma di ipotizzare un valore a cui la funzione si avvicina, partendo da un intorno di valori per la x, proprio come abbiamo visto nell'es. 5 della pagina introduttiva.

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Algebra dei limiti

Dal punto di vista teorico, con il termine Algebra dei limiti si intende tutto l'insieme di regole che ci permette di determinare il limite di una funzione articolata, composta da varie operazioni, studiando i limiti dei singoli termini e poi, se possibile, svolgendo i calcoli con i risultati ottenuti, secondo opportuni criteri.

Tuttavia possiamo dire in modo più semplice che l'Algebra dei limiti sono le regole da applicare per svolgere le operazioni tra i limiti.

Siano f e g due funzioni e sia xₒ un punto del Dominio di entrambe, o un suo estremo. Supponiamo che:

con a e b limiti finiti; sia k un qualunque numero reale. Allora:

Inoltre:

Queste regole ci dicono, in parole povere, che per calcolare il limite di una funzione, se xₒ appartiene al Dominio, è sufficiente sostituire il valore xₒ alle x della funzione e svolgere i calcoli normalmente.

Però se al contrario xₒ non appartiene al Dominio, la situazione si complica un po', in quanto vuol dire che xₒ non può esser sostituito normalmente (altrimenti studiare il Dominio a cosa serve?)

La situazione più interessante è quando xₒ è un valore estremo del Dominio: anche se xₒ non appartiene al Dominio, un qualunque suo intorno contiene infiniti punti del Dominio, quindi possiamo aiutarci con i limiti.

In tal caso possiamo applicare le regole viste sopra, ed estenderle anche coinvolgendo infinito, e in casi che normalmente non sono possibili; altri casi possono avere più soluzioni, sono le cosiddette forme indeterminate.

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Formule

Nelle seguenti formule, per sempicità non riscriviamo ogni volta il simbolo di limite; supponiamo che n sia un numero reale, limite finito di una funzione, e analogamente ±∞ siano limiti infiniti di una funzione.

Valgono le seguenti regole algebriche (il punto interrogativo ? indica una forma indeterminata)

Addizioni e sottrazioni:

Moltiplicazioni e Divisioni (¹)

(¹) con n ≠ 0; inltre vale la normale regola dei segni, anche con 0 e ±∞.

Potenze (²)

(²) con n intero ≠ 0; valgono sempre le regole degli esponenti pari e dispari.

Goniometriche

Esponenziali (³)

(³) con n ≠ 0 e 1; inoltre gli esponenziali devono avere base positiva.

Logaritmi (⁴)

(⁴) con n ≠ 0 e 1; inoltre i logaritmi devono avere base e argomento positivi.

Osserviamo che le funzioni periodiche (seno, coseno, tangente) per loro natura non hanno limite ad infinito.

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