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Paolo Ruffini


Ruffini fu un matematico e un medico italiano del XVIII secolo.
Nato a Valentano (Viterbo) nel 1765, da un medico emiliano trasferito nel Lazio, frequentò l'Universit√† di Modena, studiando diverse discipline tra cui matematica, medicina, letteratura e filosofia.
In tale università si laureò in filosofia, medicina e chirurgia e in seguito anche in matematica, per poi diventarne professore dal 1797.

A causa delle guerre napoleoniche, nel 1806 dovette abbandonare l'insegnamento per passare alla Scuola di Artiglieria e Genio dell'Accademia militare.

Nel 1814 fu riaperta l'Universit√† di Modena e Ruffini poté tornare ad insegnare matematica e medicina, divenendo anche il rettore dell'università e presidente dell'Accademia nazionale delle scienze.
In seguito, nel 1817, a causa di un'epidemia di tifo, si ammalò durante la sue sue attività, e questo lo costrinse ad abbandonare l'insegnamento nel 1819. Morì a Modena nel 1822.

Tra le sue opere, la più importante è il volume sulla "Teoria generale delle equazioni", pubblicato a Bologna nel 1799, in cui espone i suoi principali risultati in campo algebrico.

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Il Teorema di Abel-Ruffini


Le equazioni determinate hanno un numero finito di soluzioni: in particolare il numero delle soluzioni reali di un'equazione può esser al massimo quanto il grado dell'equazione; ad esempio un'equaione di settimo grado può aver al massimo 7 soluzioni reali.

Per le equazioni di grado dal primo al quarto, nella storia si sono trovate procedure e formule per la risoluzione (a scuola si studia come risolvere le equazioni di primo e di secondo grado, ma esistono anche formule per quelle di terzo e quarto grado).

Nella sua "Teoria generale delle equazioni", Ruffini espone un importante risultato, dimostrandolo solo parzialmente, sulle equazioni di grado superiore al quarto; in seguito fu ripreso e dimostrato in modo chiaro e rigoroso da Abel, facendolo diventare un vero e proprio teorema. Esso afferma che:

Teorema di Abel-Ruffini
Non esiste una formula generale che permetta di risolvere una qualunque equazione di grado superiore al quarto.

Ovviamente esistono casi particolari di equazioni di quinto grado o superiore, in cui è possibile trovare le soluzioni o perlomeno stabilire se sono reali o complesse coniugate: ad esempio le equazioni binomie:

x n = k

si possono sempre studiare, per ogni esponente n naturale e per ogni k reale.
Ma in generale non esiste una formula universale, che ci permetta di risolvere un'equazione di qualunque grado superiore al quarto.

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Il Teorema di Ruffini


Un altro importante teorema attribuito a Ruffini è quello che mette in relazione gli zeri di un polinomio con la sua scomposizione in fattori:

Teorema di Ruffini
Un polinomio P(x) è divisibile per un binomio (x − a) se e solo se P(a) = 0.

In altre parole se troviamo un numero "a" che, sostituito alla lettera x, ci fa ottenere un risultato nullo del polinomio, allora il polinomio è scomponibile in fattori e un suo fattore è il binomio (x − a).

Osservazione: ovviamente non è facile trovare gli zeri di un polinomio andanto a tentativi in modo cauale, soprattutto perchè in alcuni casi gli zeri sono numeri razionali o a volte anche irrazionali! per aiutarci, concentriamo i tentativi sui numeri più semplici e probabili, che sono i numeri interi, fattori del termine noto; ciò avviene in particolare nel caso in cui il termine di grado più alto abbia coefficiente 1.
In caso contrario, se il termine di grado più ha coefficiente diverso da 1, dobbiamo allargare lo studio degli zeri anche alle frazioni aventi come denominatore tale coefficiente (o sue potenze).

Esempio 1.
Studiamo i fattori del polinomio P(x) = x³ + 4x² − 2x − 3.
Il termine noto −3 è divisibile per: ±1 e ±3. Calcoliamo il valore del polinomio per ognuno dei quattro fattori numerici:

  • P(+1) = (+1)³ + 4(+1)² − 2(+1) − 3 = 0
  • P(−1) = (−1)³ + 4(−1)² − 2(−1) − 3 = 2
  • P(+3) = (+3)³ + 4(+3)² − 2(+3) − 3 = 54
  • P(−3) = (−3)³ + 4(−3)² − 2(−3) − 3 = 12

Solo il primo risultato è zero, quindi x = 1 è uno zero del polinomio; di conseguenza P(x) è divisibile per il binomio (x − 1) e questo binomio è un fattore del polinomio P(x). Osserviamo che il polinomio P(x) può avere altri 2 zeri (essendo di terzo grado) ma essi non saranno numeri interi: saranno irrazionali o complessi coniugati.

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La regola di Ruffini


La regola di Ruffini è un semplice algoritmo (ossia una serie di istruzioni matematiche da svolgere passo-passo) pubblicato dal matematico nel 1809, che permette di svolgere la divisione tra due polinomi, nel caso in cui il polinomio divisore sia di primo grado, determinando sia il polinomio quoziente che il resto.

Per approfondire, potete visitare questa pagina sulle scomposizioni dei polinomi, dedicata al teorema di Ruffini e alla Regola di Ruffini, con alcuni esempi.

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