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Pitagora e i pitagorici


Nato nell'isola di Samo (Grecia) nel VI secolo a.C. fu uno dei più importanti matematici-filosofi della storia.
Discepolo del filosofo Anassimandro, in età adulta si trasferì nella magna Grecia, per la precisione a Crotone, dove fondò la scuola pitagorica, un gruppo di filosofi matematici, interessati oltre a queste discipline, anche alla musica, alla medicina e all'astronomia.
Si pensa che Pitagora viaggiò molto in Egitto e in Asia Minore, dove apprese le teorie aritmetiche e geometriche che diffuse in occidente: lo stesso teorema a lui attribuito infatti era già noto agli Egizi e ai Babilonesi, il merito di Pitagora fu quello di formalizzare a livello teorico quello che si sapeva per via empirica.

Nonostante sia noto principalmente per questo teorema geometrico, Pitagora prediligeva lo studio dell'aritmetica, in particolare lo studio dei numeri interi e le loro proprietà: la sua filosofia era che ogni cosa in natura poteva essere ricondotta ai numeri naturali, per questo accettava a malincuore l'utilizzo di numeri razionali, e negava fermamente la possibilità che esistessero numeri irrazionali...

Da molti vista come una confraternita o una setta religiosa (in quanto cercavano di tenere segrete le loro teorie), la scuola pitagorica dette un grande contributo alla matematica: uno dei lavori più importanti assegnati ai suoi discepoli fu la dimostrazione che esistesse un numero, per lo meno razionale, il cui quadrato fosse 2; in generale la matematica era per i pitagorici il fondamento della realtà.
La scuola pitagorica aveva delle norme molto rigide: i discepoli praticavano l'ascetismo, uno studio continuo dell'aritmetica in ottica metafisica, dell'etica e della politica, e credevano nella trasmigrazione delle anime.

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I numeri


La filosofia pitagorica si basa sulla centralità del concetto di numero, come legame armonioso tra tutte le cose in natura: ogni essere vivente, oggetto, teoria, emozione, e sensazione è misurabile, quindi riconducibile ad un numero o ad un insieme di numeri, tanto che i pitagorici associavano ai numeri un valore metafico, mistico: ogni numero aveva una propria importanza, e un suo significato proprio, ad esempio:
1 - sorgente iniziale, indivisibililtà
2 - donna
3 - uomo
4 - ordine, giustizia
5 - matrimonio

10 - completezza

Tetraktis
Figura 1

Estrema importanza veniva data al numero 10, ottenuto come la somma dei primi quattro numeri: in genere era rappresentato da un insieme di 10 punti messi a forma triangolare, di lato 4: questa costruzione veniva chiamata «Τητρακτυσ» (Tetraktis = formato dal 4, vedi figura 1) e aveva un valore mistico, in quanto indicava la completezza, e rappresentava tutto l'universo; dall'alto verso il basso era formato da quattro livelli, ognuno dei quali possedeva diversi significati:

  1. il punto in alto era il livello del fuoco: indicava l'unità e corrispondeva geometricamente al punto.
  2. i due punti corrispondonevano al livello dell'aria: simboleggiava la dualità, la complementarità, maschile e femminile, e corrispondeva geometricamente alla linea retta.
  3. i tre punti costituivano il livello dell'acqua: indicava la vita, spazio e tempo, e corrispondeva geometricamente alla superficie piana.
  4. infine i 4 punti in basso corrispondevano al livello della terra: rappresentava la materia, gli elementi naturali e corrispondeva geometricamente alle figure solide.

Il Tetraktis conteneva quindi tutti i concetti geometrici di base e gli elementi fondamentali dell'esistenza.

Un'importante invenzione numerica fu la tavola pitagorica, una tabella con tutti i multipli dei numeri interi da 1 a 12 (ancora presente in alcuni libri e quaderni).
In particolare le scienza e la fisica erano discipline strettamente connesse con la matematica in quanto senza la possibilità di una misura perdevano importanza; inoltre la conoscenza dei numeri era il miglior modo di purificare la propria anima, in vista della trasmigrazione.
Anche la musica era studiata come applicazione della matematica: le diverse note si relazionavano in base a rapporti di valore, e due suoni erano in armonia se vi era uguaglianza di rapporti, ovvero proporzione.

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Il teorema di Pitagora


Nei suoi viaggi Pitagora visitè l'Egitto e l'Asima minore, ove apprese che esisteva una relazione tra i quadrati di alcuni numeri: ad esempio il quadrato di 3 e di 4, sommati, formano il quadrato di 5. In queste civiltà questa relazione veniva usata in ambito geometrico, con lo studio dei triangoli rettangoli (vedi figura 2), e in architettura, in particolare nella costruzione di piramidi in Egitto.

Siano a e b le misure dei due cateti di un triangolo rettangolo e sia c la misura dell'ipotenusa; allora:

a² + b² = c²

il teorema di Pitagora
Figura 2

Il merito di Pitagora fu di generalizzare questa scoperta, di astrarla e di aggiungerla alle proprietà dei numeri da lui già scoperte; non si sa di preciso se dava importanza all'applicazione geometrica, ma di sicuro coltivò molto il lato algebrico, tanto da imbattersi in alcune situazioni apparentemente impossibili: non tutti i numeri rispettano questa relazione, ad esempio il quadrato di 1 e di 2 non formano il quadrato di alcun numero!
Da qui iniziò la lunga discussione tra i pitagorici riguardo all'esistenza di altri numeri oltre agli interi, che rispettassero tale relazione.
Fu grazie a queste discussioni, che inizialmente costarono la vita ad alcuni discepoli considerati eretici, che in Grecia si arrivò ad accettare l'esistenza di numeri come √2 (nota appunto come costante di Pitagora) che era impossibile scrivere come rapporto di due numeri interi.

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Terne pitagoriche


Le terne pitagoriche sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:

a² + b² = c²

di conseguenza a e b sono i valori dei cateti di un triangolo rettangolo e c è il valore dell'ipotenusa. È possibile trovare terne pitagoriche di numeri naturali mediante una formula precisa: sono terne di numeri (a, b, c) che verificano il teorema di Pitagora, ovvero:

Siano m, n due numero naturali qualunque, con n > m; allora i valori:
a = n² − m²
b = 2 m n
c = n² + m²
formano una terna pitagorica

I valori di a e b possono esser scambiati all'interno della terna pitagorica (essendo due cateti), mentre il valore di c deve esser sempre il maggiore dei 3 numeri (essendo l'ipotenusa). Data una terna pitagorica, se moltiplichiamo i tre numeri per un valore costante (intero positivo) allora otteniamo una nuova terna pitagorica, multipla della precedente; non tutte le terne pitagoriche possono esser ottenute con la formula scritta sopra. Vediamo alcuni esempi:

m n a b c
1 2 3 4 5
1 3 8 6 10
2 3 5 12 13
1 4 15 8 17
2 4 12 16 20
3 4 7 24 25
1 5 24 10 26
2 5 21 20 29
3 5 16 30 34
4 5 9 40 41
1 6 35 12 37
2 6 32 24 40
3 6 27 36 45
4 6 20 48 52
5 6 9 60 61
1 7 48 14 50
2 7 45 28 53
3 7 40 42 58
4 7 33 56 65
5 7 24 70 74
6 7 13 84 85

Altre terne che non compaiono in questa tabella sono ad esempio le terne multiple: (9, 12, 15), (15, 20, 25), (18, 24, 30), (21, 28, 35), (15, 36, 52), (21, 72, 75), che si ottengono assengnando valori irrazzionali ai parametri m ed n.
Caso particolare: Se i parametri m e n sono entrambi dispari, si può usare la formula ridotta:

a = (n² − m²) / 2
b = m n
c = (n² + m²) / 2

riottenendo così alcune terne già viste. Ecco alcuni esempi:

m n a b c
1 3 4 3 5
1 5 12 5 13
3 5 8 15 17
1 7 24 7 25
3 7 20 21 29
5 7 12 35 37

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Quaterne pitagoriche


Le quaterne pitagoriche sono quaterne di numeri (a, b, c, d) che verificano il teorema di Pitagora nello spazio, ovvero:

a² + b² + c² = d²

a, b, c sono le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo e d è il valore della diagonale interna. Per ottenere quaterne pitagoriche con numeri naturali, è sufficiente sfruttare le terne pitagoriche descritte sopra, ne seguente modo: in una terna pitagorica sostituire i valori di un cateto con quelli di altri due cateti di un'altra terna, avente per ipotenusa il cateto iniziale, ad esempio nella terna (5, 12,13), al posto del 5 mettiamo (3, 4) che corrispondono alla terna con ipotenusa 5, e otteniamo la quaterna (3, 4, 12, 13).

Ovviamente vale sempre la regola che è possibile ottenere altre quaterne moltiplicando per un numero i quattro valori della quaterna iniziale. Ecco alcuni esempi:

a b c d
3 4 12 13
8 9 12 17
6 8 24 26
9 12 36 39
12 15 16 25
12 16 21 29
5 12 84 85
24 30 32 50

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