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Erone d'Alessandria


Filosofo, matematico e inventore greco, vissuto nel primo secolo dopo Cristo, di origine greca, visse ad Alessandria d'Egitto come insegnante presso il Museo; fu anche un importante ingegnere, influenzato da Archimede, Euclide e dalla cultura araba.
Inventò numerosi strumenti pratici (come la dioptra in campo astronomico e l'odometro per misurare le distanze percorse) e diede un buon contributo agli studi di Euclide in campo geometrico, nonché un importante teorema di ottica in fisica.

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La formula di Erone


La formula di Erone permette di trovare l'area di un qualunque triangolo partendo dalle lunghezze dei suoi lati.

Siano a, b e c le misure dei lati di un triangolo e sia p la misura del semiperimetro; allora l'area del triangolo si ottiene dalla formula:

A = √p (p − a) (p − b) (p − c)

Ad esempio se un triangolo ha i lati che misurano 5cm, 6cm e 7cm, il semiperimetro misura 9cm e l'area vale:

A = √9 (9 − 5) (9 − 6) (9 − 7) =
= √216 ≃ 14,7cm

Questa formula può esser dimostrata sia per mezzo del teorema di Pitagora, sia tramite il teorema di Carnot e le formule trigonometriche.

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Il teorema di Erone


In geometria e in fisica il teorema di Erone risolve il problema del cammino più breve tra due punti A e B, dovendo nel tragitto toccare una retta r, non passante per i due punti. L'enunciato è il seguente:

Data una retta r e due punti esterni A ed B, il punto P della retta r che minimizza la somma AP + PB corrisponde a quel punto tale che i segmenti AP e PB formano angoli uguali con la retta r.

il teorema di Erone
Figura 1

Questo risultato ci aiuta nello studio del fenomeno della riflessione, nel quale un'onda che incide su una parete liscia, viene riflessa di un angolo equivalente a quello con cui incide nella parete.

Il teorema si dimostra facilmente considerando la figura 1 in cui, dati due punti A e B al di sopra della retta r, si contruisce il punto A', simmetrico ad A rispetto a tale retta: il segmento AP è congruente ad A'P, di conseguenza il triangolo APA' è isoscele e gli angoli α e α' sono congruenti; dal momento che la distanza più breve per andare da A' a B è una linea retta, allora anche gli angoli α' e β sono congruenti, in quanto opposti al vertice; di conseguenza α e β sono congruenti.

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