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Introduzione - Solidi e liquidi - Gas perfetti - Legge di stato

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Trasformazioni nei gas


Un materiale allo stato gassoso (o aeriforme) è caratterizzato dal non possedere né una forma propria, né un volume proprio, ma le sue molecole sono libere di muoversi e allontanarsi o avvicinarsi tra loro, di conseguenza un gas prendere la forma e le dimensioni del recicipiente che lo contiene.
Le dimensioni di un gas non dipendono quindi solo dalla temperatura che possiede, ma anche dalla pressione del gas e dalle dimensioni del recipiente.

Si osserva infatti che se aumentiamo la temperatura del gas all'interno di un recipiente, ad esempio riscaldandolo con una fiamma sotto il recipiente, anche la pressione e il volume tendono ad aumentare.

Per studiare un gas occorre quindi cercare di mantenere costanti alcune grandezze, per studiare come si relazionano tra loro le altre; in particolare studiamo le trasformazioni:

  • Isobara - la pressione rimane costante, variano volume e temperatura.
  • Isocora - il volume rimane costante, variano pressione e temperatura.
  • Isoterma - la temperatura rimane costante, variano volume e pressione.

Per prima cosa mettiamo una condizione importante sui gas che studiamo, consideriamo solo gas particolari: i gas perfetti (o gas ideali).

Un gas perfetto è un gas molto rarefatto, le cui molecole sono puntiformi e molto distanziate tra loro, così da non potersi influenzare reciprocamente.

Per mantenere queste condizioni durante le trasformazioni, supponiamo di operare cambiamenti molto lenti nel tempo, in modo da non creare squilibri all'interno del gas.
Di seguito presentiamo le tre leggi principali che descrivono il comportamento dei gas perfetti in situazioni particolari.

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Trasformazione isobara


Studiamo un gas durante una trasformazione isobara: il gas, contenuto in un cilindro con un coperchio mobile, scorrevole in verticale, mantiene costante la sua pressione.
Infatti se la pressione del coperchio dovuta alla gravità è in equilibrio con la pressione del gas.

Si osserva quindi che se aumentiamo la temperatura del gas, la pressione resta costante per effetto del coperchio mobile, e il volume aumenta; analogamente se diminiamo la temperatura del gas, anche il volume diminuisce, come indicato in figura 1.

trasformazione isobara
Figura 1

In particolare:

Prima legge di Gay-Lussac

In una trasformazione isobara (a pressione costante) variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali a variazioni di volume.

In formule:

Δ𝒱 = 𝒱0 α ΔT

Essendo Δ𝒱 = 𝒱 − 𝒱0 la variazione di volume, dove 𝒱0 è il volume del gas alla temperatura iniziale, mentre 𝒱 il volume alla temperatura finale; analogamente ΔT = T − T0 è la variazione di temperatura.
Tale formula è uguale a quella delle dilatazioni volumiche di solidi e liquidi; ma a differenza di questi, il coefficiente di dilatazione termica α nei gas ideali è chiamato coefficiente di espansione e dipende solo dalla temperatura iniziale: α = 1 / T0.

Svolgendo i calcoli si vede che volume e temperatura assoluta sono direttamente proporzionali: il rapporto tra esse è costante; infatti la formula diventa:

Prima legge di Gay-Lussac

𝒱 / 𝒱0 = T / T0

Nel caso inveche che T0 = 273,15K (ossia 0°C) e 𝒱0 = volume a 0°C, allora α ha un valore costante di circa 3,66 · 10−3 K−1 (che corrisponde a 1 / 273,15) e la formula può esser perciò scritta in un altro modo equivalente, usando la temperatura in gradi Celsius:

Prima legge di Gay-Lussac

𝒱 = 𝒱0 (1 + α Θ)

Tuttavia, tranne in casi particolari, conviene usare la prima delle due formulazioni della legge.

Esempio 3.

Un gas ad una temperatura di 40°C subisce una trasformazione isobara, passando da un volume di 2m³ ad un volume di 1,8m³. Quale sarà la sua temperatura finale?

Dati:
𝒱0 = 2m³
𝒱 = 1,8m³
Θ0 = 40°C   ⇒   T0 = 313,15K
Θ = incognita.

Soluzione:
In questa situazione la pressione rimane costante, il volume diminuisce, di conseguenza anche la temperatura diminuirà

Usiamo la propozione ottenuta dalla prima legge di Gay-Lussac:

𝒱 / 𝒱0 = T / T0

1,8 / 2 = T / 313,15K

Dobbiamo risolvere questa proporzione, ricavando T.

T = 313,15K · 1,8 / 2

T = 313,15K · 0,9

T = 281,835K

Conclusione: la temperatura del gas diminuisce fino a 281,835K, ossia circa 8,7°C.

Trasformazione isocora


Cosa succede invece in un gas durante una trasformazione isocora? studiamo il gas, contenuto in un cilindro con un coperchio fisso, mantenendo quindi costante il volume.
In questo caso se aumentiamo la temperatura del gas, il volume resta costante per effetto del coperchio fisso, e la pressione aumenta.

In particolare:

Seconda legge di Gay-Lussac

In una trasformazione isocora (a volume costante) variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali a variazioni di pressione.

In formule:

Δp = p0 α ΔT

Essendo Δp = p − p0 la variazione di pressione, dove p0 è la pressione del gas alla temperatura iniziale, mentre p la pressione alla temperatura finale; ΔT = T − T0 è sempre la variazione di temperatura.
Anche in questo caso il coefficiente di espansione α vale 1 / T0.

A volume costante, pressione e temperatura assoluta sono direttamente proporzionali: il loro rapporto è costante. Svolgendo i calcoli la formula diventa:

Seconda legge di Gay-Lussac

p / p0 = T / T0

Anche qui, se poniamo che T0 = 273,15K (ossia 0°C) e p0 = pressione a 0°C, allora α = 3,66 · 10−3 K−1 e la formula può esser perciò scritta in un altro modo equivalente, usando la temperatura in gradi Celsius:

Seconda legge di Gay-Lussac

p = p0 (1 + α Θ)

Esempio 4.

Un gas in un recicipiente chiuso e fissato viene riscalato da 25°C a 80 °C; sapendo che inizialmente si trovava a pressione atmosferica (1,01·105 Pa), quale sarà la sua pressione finale?

Dati:
p0 = 1,01·105 Pa
p = incognita
Θ0 = 25°C   ⇒   T0 = 298,15K
Θ = 80°C   ⇒   T0 = 353,15K.

Soluzione:
Il volume rimane costante, perchè il recipiente è chiuso e fissato; la temperatura aumenta, di conseguenza anche la pressione aumenterà

Usiamo la seconda legge di Gay-Lussac:

p / p0 = T / T0

Risolviamo questa proporzione, ricavando p.

p = p0 · T / T0

p = 1,01·105 Pa · 353,15 / 298,15

p = 1,01·105 Pa · 1,184

p = 1,196 · 105 Pa

Conclusione: la pressione del gas aumenta fino a circa 1,20 · 105 Pa.

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Trasformazione isoterma


Consideriamo infine il caso di una trasformazione isoterma, in cui manteniamo costante la temperatura, facendo variare pressione e volume: ad esempio, possiamo riprendere il contenitore cilindrico con il coperchio mobile e regoliamo una fiamma in modo che la temperatura resti costante. In questo caso si osserva che diminuendo il volume, la pressione aumenta, e viceversa aumentando il volume, la pressione dimunuisce.
In particolare pressione e volume sono inversamente proporzionali, ossia il loro prodotto rimane costante.

Legge di Boyle-Mariotte

In una trasformazione isoterma (a temperatura costante) la pressione del gas è inversamente proporzionali al suo volume.

In formule:

Δ p𝒱 = 0

Scrivendo in modo esplicito questa differenza, otteniamo in modo equivalente la formula:

Legge di Boyle-Mariotte

p · 𝒱   =   p0 · 𝒱0

Esempio 5.

All'interno di cilindro di un litro avente un coperchio mobile, si trova un gas alla temperatura di 80°C, avente una pressione di 1,12 · 105 Pa.
Se il cilindro viene compresso, dimezzando il suo volume e mantenendo costante la temperatura, quale sarà la sua pressione finale?

Dati:
p0 = 1,12·105 Pa
𝒱0 = 1 litro   ⇒   1·10−3
Θ = costante (80°C è un dato inutile...)
p = incognita
𝒱 = 0,5 litri   ⇒   0,5·10−3

Soluzione:
Poiché la temperatura rimane costante e il volume diminuisce, la pressione aumenterà, secondo la legge di Boyle-Mariotte:

p · 𝒱   =   p0 · 𝒱0

Risolviamo questa proporzione, ricavando p.

p   =   p0 · 𝒱0 / 𝒱

p = 1,12·105 Pa · 2

p = 2,24·105 Pa

Conclusione: la pressione del gas aumenta fino a circa 2,24 · 105 Pa: la pressione è raddoppiata, dal momento che il volume è dimezzato.

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