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Moto parabolico - Moto circolare

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Moto parabolico


Moto di un corpo soggetto alla sola forza di grafità (si trascurano altre eventuali interazioni, come ad es. gli attriti); un corpo che si muove nello spazio, soggetto alla forza di gravità, subisce un'accelerazione verso il basso: se il movimento è in direzione verticale, il corpo segue un moto rettilineo uniformemente accelerato, mentre negli altri casi segue una traiettoria parabolica, con asse di simmetria verticale e concavità verso il basso.

Il moto parabolico è la risultante della composizione di due moti: un moto rettilineo uniforme lungo una direzione orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato lungo una direzione verticale; infatti l'unica forza agente è quella di gravità, che a livello del mare produce un'accelerazione costante di circa 9,81 m/s², chiamata accelerazione di gravità (g) con direzione verticale e verso il basso.

Per studiare il moto parabolico è quindi conveniente utilizzare un sistema di riferimanto cartesiano avente come asse x la direzione orizzontale, in cui si studia il moto rettilineo uniforme, mentre come asse y la direzione verticale, in cui si studia il moto uniformemente accelerato avente come accelerazione g.

Le equazioni caratteristiche del moto sono:

ASSE X:

x (t) = x0 + vx0 t

vx (t) = vx0


ASSE Y:

y (t) = y0 + vy0 t – ½ g t²

vy (t) = vy0 – g t

Essendo:

  • (x; y) le coordinate del punto nel piano cartesiano in un qualunque istante, ossia il vettore posizione;
  • (x0; y0) le coordinate del punto all'istante iniziale, ossia il vettore posizione iniziale;
  • v = (vx; vy) il vettore velocità in un qualunque istante;
  • v0 = (vx0; vy0) il vettore velocità iniziale;

Nel caso che un corpo parta dall'origine, con un angolo α rispetto all'asse x, le equazioni diventeranno:

ASSE X:

x = v0 cos(α) t

vx = v0 cos(α)


ASSE Y:

y = v0 sin(α) t – ½ g t²

vy = v0 sin(α) – g t

La Traiettoria è la curva che percorre il punto nel piano cartesiano e, come abbiamo detto, è a forma parabolica. L'equazione cartesiana di tale parabola è:

y = – g x² / 2(vx0)² + (vy0)x / vx0 + y0.

La Gittata rappresenta l'ascissa del punto di caduta, ossia il punto in cui la traiettoria interseca l'asse x, e si calcola:

xG = 2 (vx0)(vy0) / g.

Che si può anche scrivere:

xG = (vx0)² sen(2α) / g.

Esempio 1.

Consiederiamo un proiettile sparato con una velocità iniziale di 20m/s in una direzione che forma un angolo di 30° con il piano orizzontale.
A quale altezza massima può arrivare e quale sarà la gittata?

Per prima cosa scriviamo le equazioni lungo la direzione x e la direzione y, considernado come punto di partenza l'origine degli assi:

ASSE X: ASSE Y:

x (t) = 20m/s cos(30°) t

vx (t) = 20m/s cos(30°)

y (t) = 20,0 m/s sen(30°) t – ½ (9,81m/s²) t²

vy (t) = 20m/s sen(30°) – (9,81m/s²) t

Il punto di massima altezza corrisponde al punto nel quale la componente verticale delle velocità si annulla.
Dobbiamo partire quindi dall'ultima formula, risolvendo l'equazione vy (t) = 0.

20m/s sen(30°) – (9,81m/s²) t = 0

20m/s · 0,87 – (9,81m/s²) t = 0

17,4 m/s – (9,81m/s²) t = 0

(9,81m/s²) t = 17,4 m/s

t = (17,4 / 9,81) s

t = 1.77 s

A questo punto รจ sufficiente sostituire il valore trovato nell'equazione y(t), per trovare l'altezza al tempo t = 1.77 s:

ymax = 20,0 m/s sen(30°) (1,77 s) – ½ (9,81 m/s²) (1,77 s)²

ymax = 20,0 m/s · 0,5 · 1,77 s – 4,90 m/s² · 3,15 s²

ymax = 17,7 m – 15,4 m

ymax = 2,3 m

Infine per trovare la gittata possiamo usare la formula apposita:

xG = 2 (20m/s · 0,5 )(20m/s · 0,87) / (9,81 m/s²).

xG = (348 m²/s²) / (9,81 m/s²).

xG = 35,5 m.


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