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Il Lavoro - En. Cinetica - En. Potenziale - En. Meccanica

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Energia Meccanica


Per determinare lo stato dinamico di un corpo, la sua capacità in generale di compiere lavoro, introduciamo una nuova energia:

L'Energia meccanica E di un corpo corrisponde alla somma delle sue energie cinetica e potenziale.

Dal momento che l'energia potenziale può esser dovuta a diverse forze conservative, consiederiamo la somma di tutte queste energie:

E   =   K + ∑ U

Nel nostro contesto ∑ U = UG + UE; in altri contesti si possono prendere in considerazione anche altre energie potenziali, come ad esempio quella elettrica.

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Conservazione dell'Energia Meccanica


Nel caso in cui le forze agenti sono solamente forze conservative, l'en. meccanica totale si conserva nel tempo: E i = E f. Più in dettaglio:

K i + UG i + UE i   =   K f + UG f + UE f

Il lavoro compiuto da forze conservative non fa variare l'en. meccanica totale, ma fa variare l'energia cinetica e potenziale.

Se il lavoro compiuto dalle forze conservative è positivo, vi sarà un aumento di energia cinetica e una corrispondente diminuzione di energia potenziale (gravitazionale o elastica, a seconda delle forze agenti).

Se il lavoro compiuto dalle forze conservative è negativo, vi sarà una diminuzione di energia cinetica e un corrispondente aumento di energia potenziale (gravitazionale o elastica, a seconda delle forze agenti).

In pratica possiamo dire che il lavoro delle forze conservative (LC) produce una variazione di en. cinetica a cui corrisponde una variazione opposta di en. potenziale.

LC   =   ΔKC   =   − (ΔUG + ΔUE)


Esempio 7.

A quale velocità cade una palla di 500g, se lasciata cadere da un'altezza di 20,0m? Trascuriamo l'attrito dell'aria.

Dati:
Massa: m = 500g ⇒ 0,500kg
Altezza: h = 20,0m
Velocità iniziale: vi = 0m/s
Accelerazione di gravità: g = 9,81m/s²
Velocità finale: vf = incognita.

Soluzione: tale problema può esser risolto con lo studio del moto uniformemente accelerato in caduta libera, ma se usiamo la conservazione dell'energia impieghiamo meno calcoli; infatti l'unica forza agente è il peso, che è una forza conservativa. Analizziamo le energie iniziali e finali (possiamo trascurare l'en. potenziale elastica, in quanto non ci sono forze elastiche che agiscono):

  • Ki = ½ m vf² = 0 (il corpo è fermo)
  • UG i = m g hi
  • Kf = ½ m vf²
  • UG f = m g hf = 0 (il corpo arriva al suolo)

Applicando la conservazione dell'energia:

K i + UG i = K f + UG f

0 + m g hi = ½ m vf² + 0

Osserviamo che, essendo un'equazione, possiamo dividere ogni termine semplificando le masse: questo ci dice che la massa del corpo non influenza (in assenza di attrito) la velocità di caduta.

g hi = ½ vf²

Risolvendo l'equazione otteniamo:

vf² = 2 g hi

vf² = 2 · 9,81m/s² · 20,0m = 392m²/s²

vf = 19,8m/s

Conclusione: la palla atterra al suolo con una velocità di 19,8m/s²

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Variazione dell'Energia Meccanica


Ricordiamo che il lavoro delle forze può produrre trasformazioni di energia; è però importante sottolineare il differente ruolo delle forze conservative e di quelle non conservative:

  • il lavoro di una forza conservativa può far variare le singole energie (cinetica o potenziale) ma non cambia il totale dell'energia meccanica;
  • il lavoro di una forza non conservativa può far variare solo l'energia cinetica (non agisce su quella potenziale) di conseguenza fa variare il totale dell'energia meccanica;

ΔK   =   LC + LNC

ΔU   =   −LC

Di conseguenza la variazione di energia meccanica corrisponde al solo lavoro delle forse non conservative.

ΔE   =   LNC


Esempio 8.

Un dado di 15g si trova alla base di un piano inclinato che forma un angolo di 30,0° rispetto al suolo. Il dado è collegata ad una molla di costante elastica 100N/m e compressa di 4cm, che viene fatta scattare, lasciando il dado su per il piano inclinato. Sapendo che il dado si ferma ad un'altezza di 30,0cm dal suolo, calcolare il coefficiente di attrito dinamico μ tra il piano e il dado.

Dati:
Massa: m = 15g ⇒ 0,015kg
Altezza iniziale: hi = 0m
Velocità iniziale: vi = 0m/s
Costante elastica: k = 100N/m
Deformazione della molla: s = 4cm ⇒ 0,04m
Accelerazione di gravità: g = 9,81m/s²
Velocità finale: vf = 0m/s
Inclinazione: α = 30,0°
Altezza finale: hf = 30,0cm ⇒ 0,300m
Coeff. d'attrito: μ = incognita.

Soluzione: Anche questo problema può esser risolto con lo studio del moto uniformemente accelerato, ma usiamo anche qui la variazione dell'energia meccanica. Osserviamo che, dal momento che la velocità iniziale e quella finale sono nulle, l'energia cinetica non varia.

Situazione energenica iniziale:

  • Ki = ½ m vi² = 0J (il corpo è fermo)
  • UG i = m g hi = 0J (il corpo parte dal suolo)
  • UE i = ½ k s² = 0,5 · 100N/m · (0,04m)² = 0,08J
  • Quindi Ei = 0,08J

Situazione energenica finale:

  • Kf = ½ m vf² = 0J (il corpo è nuovamente fermo)
  • UG f = m g hf = 0,015kg · 9,81m/s² · 0,3m = 0,0441J
  • UE i = ½ k s² = 0J (la molla non è più deformata)
  • Quindi Ef = 0,0441J

L'energia meccanica non si conserva: Ei = 0,08J mentre Ef = 0,0441J; c'è stata una diminuzione di 0,0359J.
Che fine ha fatto questa energia? È stata dissipata dal lavoro delle forze non conservative, nel nostro caso l'attrito.

Studiamo quindi il lavoro della forza d'attrito: in questa situazione l'attrito ha come forza premente la componente perpendicolare della forza peso (il piano non è orizzontale):

F = FP cos(α) = m g cos(α)

La posizione finale è il punto sul piano ad altezza 0,3m, che corrisponde ad una distanza

ℓ = h : sen(α) = 0,3m : 0,5 = 0,6m

dal punto di partenza: ℓ corrisponde allo spostamento durante il quale ha agito la forza di attrito.

Di conseguenza il lavoro della forza d'attrito vale:

LNC = FA · ℓ

LNC = μ · F · ℓ

LNC = μ · m g cos(α) · ℓ

LNC = μ · 0,015kg · 9,81m/s² · 0,87 · 0,6m

LNC = μ · 0,0768J

Uguagliamo infine il lavoro della forza di attrito con la variazione di energia meccanica, per ricavare il coefficiente μ:

μ · 0,0768J = 0,0359J

μ = 0,0359J : 0,0768J = 0,467

Conclusione: il coefficiente di attrito tra la bilgia e la superficie è 0,467.

Osservazione: in questo problema ci si potrebbe chiedere: come mai l'energia cinetica è rimasta costante, mentre quella potenziale è variata? L'attrito ha agito su quella potenziale?
No. Quando la molla scatta, trasforma la propria energia potenziale elastica in energia cinetica, trasferendola sul corpo, che inizia a muoversi lungo il piano inclinato; salendo, il corpo diminuisce l'energia cinetica e aumenta quella potenziale gravitazionale. Ma l'attrito ostacola il moto, per cui lungo la salita una parte dell'energia cinetica si dissipa a causa del lavoro della forza d'attrito; per cui l'energia cinetica iniziale in parte è divenuta energia potenziale gravitazionale, in parte si è dissipata. Alla fine quindi solo una parte dell'energia cinetica iniziale si è potuta ritrasformare in energia potenziale.

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