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Moto parabolico - Moto circolare

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Moto circolare uniforme


Moto periodico di un punto materiale P lungo una circonferenza di raggio R, in cui variano le caratteristiche vettoriali di spazio, velocità e accelerazione, che tuttavia rimangono costanti in modulo. Le prime grandezze caratteristiche di un moto periodico sono:

  • Il Periodo (𝒯): l'intervallo di tempo che il corpo impiega a compiere un giro (o oscillazione) completo(a); si misura quindi in secondi.
  • La Frequenza (ƒ): il numero di giri (od oscillazioni) che il corpo compie in un secondo; la frequenza è quindi numericamente uguale al reciproco del periodo; si misura in Hertz (Hz).

In generale vale quindi la relazione:

𝒯 · ƒ = 1

Il moto circolare uniforme è la composizione di due moti armonici aventi la stessai frequenza: uno verticale e uno orizzontale, sfasati di un quarto di periodo.

Il vettore posizione è r = (x, y), dove x e y sono le coordinate del punto P; il modulo del vettore r è il raggio R della circonferenza; la posizione può esser descritta anche dalle coordinate polari (R, θ) dove θ l'angolo al centro che varia nel tempo; valgono le la relazioni:

  • R² = x² + y²
  • x = R cos(θ)
  • y = R sen(θ)

data dal Teorema di Pitagora e dai teoremi goniometrici.

Le altre importanti grandezze che descrivono il moto circolare uniforme sono:

  • Velocità tangenziale vT: è la velocità istantanea del corpo che si muove lungo la circonferenza: nel moto circolare uniforme ha modulo costante; in generale ha direzione tangente alla circonferenza e il verso del moto. Il modulo della velocità si può calcolare nei seguenti modi:

    Velocità tangenziale

    vT = 2π R / 𝒯

    vT = 2π R ƒ

    vT = ω R

  • Velocità angolare ω: indica la variazione dell'angolo θ nel tempo: Δθ / Δt. Si ottiene come il prodotto vettoriale tra il raggio e la velocità istantanea: ω = r × vT e si misura in radianti al secondo.
    Anche la velocità angolare è un vettore avente modulo costante; ha direzione perpendicolare al piano e passante per il centro della circonferenza; il verso è in alto se il moto è in senso antiorario e in basso se il moto è in senso orario; il modulo della velocità angolare si può calcolare nei seguenti modi:

    Velocità angolare

    ω = 2π / 𝒯

    ω = 2π ƒ

    ω = vT / R

    il modulo della velocità angolare corrisponde alla pulsazione dei moti armonici componenti.
  • Accelerazione centripeta ac: l'accelerazione istantanea ha modulo costante, direzione del raggio, verso il centro. Il modulo dell'accelerazione centripeta si calcola:

    Accelerazione centripeta

    ac = ω vT

    ac = ω² R

    ac = vT² / R

In figura 2 è riportata una rappresentazione del moto circolare di un punto P in un classico piano cartesiano Oxy, con i vettori posizione (in verde), velocità tangenziale (in blu) e accelerazione centripeta (in rosso).

moto circolare uniforme
Figura 2

In questa figura la velocità angolare è un vettore che esce dal piano, partendo dal punto O.

L'equazione oraria del moto circolare uniforme è:

COORDINATE CARTESIANE:

x (t) = R cos(ω t)

y (t) = R sen(ω t)


COORDINATE POLARI:

R = costante

θ (t) = ω t


Esempio 2.

Un oggetto ruota di moto circolare uniforme su una traiettoria di raggio 3,00 m e con una frequenza di 5,00 Hz.
Calcoliamo la velocità tangenziale, la velocità angolare e l'accelerazione centripeta di tale oggetto.

Dati:
R = 3,00m
ƒ = 5,00Hz
vT = incognita
ω = incognita
ac = incognita

Soluzione: il raggio misura 3 m, dunque la circonferenza descritta è lunga:
C = 2π · 3,00 m = 18.8 m

La velocità tangenziale è quindi:   vT = 2πR ƒ = 18,8 m · 5 Hz = 94,0 m/s

La velocità angolare è:   ω = 2π ƒ = 6,28 · 5 Hz = 31,4 rad/s

Infine l'accelerazione centripeta corrisponde a:   ac = ω vT = 31,4 rad/s · 94,0 m/s = 2951,6 m/s²
che approssimato diventa: 2,95 · 10³ m/s²

Conclusione: la velocità tangenziale vale 94m/s, la velocità angolare 31,4rad/s e l'accelerazione centripeta 2951,6 m/s².

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Moto circolare accelerato vario


Moto di un punto P lungo una circonferenza di raggio R, in cui variano le caratteristiche vettoriali di spazio, velocità e accelerazione (anche in modulo).

Nel moto circolare accelerato la posizione r è sempre un vettore di modulo R, che parte dal centro e arriva alla posizione del punto P, le cui coordinate cartesiane sono (x, y) – oppure coordinate polari (R; θ).
L'equazione oraria è:

x (t) = R cos ( θ(t) )

y (t) = R sen ( θ(t) )

Dove θ(t) è una funzione che descrive come varia l'angolo θ nel tempo.

Grandezze coinvolte:

  • Velocità angolare istantanea:   ω(t) = dθ(t) / dt
    ha direzione perpendicolare al piano e passante per il centro della circonferenza; il verso è in alto se il moto è in senso antiorario, e in basso se il moto è in senso orario.
  • Velocità tangenziale istantanea:   v(t) = R · dθ(t) / dt = ω(t) · R
    ha direzione tangente alla circonferenza e verso del moto.

  • Accelerazione istantanea:   a(t) = R · d²θ(t) / dt²
    è la somma vettoriale tra due accelerazioni: l'accelerazione centripeta (che ha direzione del raggio, verso il centro) e l'accelerazione tangenziale (che ha direzione tangente alla circonferenza; il verso è quello del moto se la velocità tangenziale aumenta, opposto se diminuisce).

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