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Moto parabolico - Moto circolare

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Moto parabolico generale


Moto di un corpo soggetto alla sola forza di grafità (si trascurano altre eventuali interazioni, come ad es. gli attriti); un corpo che si muove nello spazio, soggetto alla forza di gravità, subisce un'accelerazione verso il basso: se il movimento è in direzione verticale, il corpo segue un moto rettilineo uniformemente accelerato, mentre negli altri casi segue una traiettoria parabolica, con asse di simmetria verticale e concavità verso il basso.

Il moto parabolico è la risultante della composizione di due moti: un moto rettilineo uniforme lungo una direzione orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato lungo una direzione verticale; infatti l'unica forza agente è quella di gravità, che a livello del mare produce un'accelerazione costante di circa 9,81 m/s², chiamata accelerazione di gravità (g) con direzione verticale e verso il basso.

Per studiare il moto parabolico è quindi conveniente utilizzare un sistema di riferimanto cartesiano avente come asse x la direzione orizzontale, in cui si studia il moto rettilineo uniforme, mentre come asse y la direzione verticale, in cui si studia il moto uniformemente accelerato avente come accelerazione g.

Le equazioni caratteristiche del moto sono:

ASSE X:

x (t) = x0 + v0 X t

v X (t) = v0 X


ASSE Y:

y (t) = y0 + v0 Y t − ½ g t²

v Y (t) = v0 Y − g t

Essendo:

  • (x; y) le coordinate del punto nel piano cartesiano in un qualunque istante, ossia il vettore posizione;
  • (x0; y0) le coordinate del punto all'istante iniziale, ossia il vettore posizione iniziale;
  • v = (v X; v Y) il vettore velocità in un qualunque istante;
  • v0 = (v0 X; v0 Y) il vettore velocità iniziale;

moto parabolico
Figura 1

In figura 1 è riportato una rappresentazione del moto parabolico in un classico piano cartesiano Oxy.

La Traiettoria è la curva che percorre il punto nel piano cartesiano e, come abbiamo detto, è a forma parabolica. L'equazione cartesiana di tale parabola è:

y = − g x² / 2(v0 X)² + (v0 Y)x / v0 X + y0.

Moto Parabolico con partenza dall'origine


Nel caso che un corpo parta dall'origine, con un angolo α rispetto all'asse x, allora:

  • x0 = y0 = 0;
  • v0 X = v0 cos(α);
  • v0 Y = v0 sen(α).

Le equazioni diventano:

ASSE X:

x = v0 cos(α) t

v X = v0 cos(α)


ASSE Y:

y = v0 sin(α) t − ½ g t²

v Y = v0 sin(α) − g t

La Traiettoria in questo caso diventa più semplice:

y = − g x² / 2(v0 X)² + (v0 Y)x / v0 X.

Il Tempo di volo (𝒯) è il tempo impiegato a percorrere tutto l'arco di parabola interessato dal problema: dal punto di lancio fino al punto di atterraggio.

𝒯 = 2 v0 Y / g

La Gittata rappresenta l'ascissa del punto di caduta, ossia il punto in cui la traiettoria interseca l'asse x, e si calcola:

xG = 2 v0 X v0 Y / g.

Che si può anche scrivere:

xG = (v0)² sen(2α) / g.

La gittata dipende quindi dalla velocità iniziale e dall'angolo di lancio; si osserva che la gittata massima si ottiene con un'inclinazione di 45° rispetto all'asse x: infatti in tal caso otteniamo

xG = (v0)² sen(90°) / g = (v0)² / g.

Infine il punto più alto raggiunto dalla traiettoria rappresenta il vertice della parabola, e ha coordinate:

  • posizione dell'altezza massima: xV = v0 X v0 Y / g
  • altezza massima raggiunta: yV = (v0 Y)² / 2g

Esempio 1.

Consiederiamo un proiettile sparato con una velocità iniziale di 20m/s in una direzione che forma un angolo di 30° con il piano orizzontale.
A quale altezza massima può arrivare e quale sarà la gittata?

Dati:
v0 = 20m/s
α = 30°
g = 9,81m/s²
xmax = incognita
ymax = incognita

Soluzione: osserviamo che il punto di massima altezza si può ottenere facilmente usando le formule del vertice; ma in alternativa può esser calcolato da zero anche in un altro modo: infatti corrisponde al punto nel quale la componente verticale delle velocità si annulla.

Per prima cosa scriviamo quindi le equazioni lungo la direzione x e la direzione y, considernado come punto di partenza l'origine degli assi:

ASSE X:

x (t) = 20m/s cos(30°) t

v X (t) = 20m/s cos(30°)

ASSE Y:

y (t) = 20m/s sen(30°) t − ½ (9,81m/s²) t²

v Y (t) = 20m/s sen(30°) − (9,81m/s²) t

Dobbiamo partire quindi dall'ultima formula, risolvendo l'equazione v Y (t) = 0.

20m/s sen(30°) − (9,81m/s²) t = 0

20m/s · 0,5 − (9,81m/s²) t = 0

10m/s − (9,81m/s²) t = 0

(9,81m/s²) t = 10m/s

t = (10 / 9,81)s

t = 1,02s

A questo punto รจ sufficiente sostituire il valore trovato nell'equazione y(t), per trovare l'altezza al tempo t = 1.02 s:

ymax = 20m/s sen(30°) (1,02s) − ½ (9,81m/s²) (1,02s)²

ymax = 20m/s · 0,5 · 1,02s − 4,9m/s² · 1,04s²

ymax = 10,2m − 5,1m

ymax = 5,1m

Possiamo verificare i calcoli usando la formula yV = (v0 Y)² / 2g, con la quale arriviamo allo stesso risultato.

Analogamente anche per trovare la gittata possiamo usare la formula apposita, oppure usare il tempo trovato t = 1,02s
Infatti esso corrisponde a metà del tempo di volo, quindi:

𝒯 = 2,04s

Sostituendo 𝒯 nell'equazione della x, troviamo la gittata

xG = 20m/s cos(30°) · 2,04s

xG = 20m/s 0,87 · 2,04s

xG = 35,5 m.

Anche in questo caso possiamo verificare i calcoli usando la formula della gittata, con la quale arriviamo allo stesso risultato.

Conclusione: l'altezza massima raggiunta è di 5,1m e la gittata è di 35,5m.

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