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Introduzione
Pitagora - Fibonacci - Tartaglia

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Niccolò Tartaglia


Niccolò Fontana, detto Tartaglia, fu un importante matematico italiano vissuto nel XVI secolo.
Nacque a Brescia, poi si trasferì a Verona dove riuscì a trovare un metodo per risolvere le equazioni di III grado. In una celebre sfida con il rivale Antonio Maria Fiore i due matematici si scambiarono problemi di III grado da risolvere, e Tartaglia grazie alle sue scoperte riuscì a vincere la sfida.
Successivamente fu ospitato a Milano da Gerolamo Cardano, che ne pubblicò i risultati; in quegli anni scoprì anche le proprietà del triangolo numerico che porta il suo nome: il triangolo di Tartaglia; il secolo successivo Pascal riprese questi risultati applicandoli alla probabilità, per questo all'estero questo triangolo è anche detto triangolo di Pascal.
Gli anni successivi, in seguito ad una sfida persa con Ludovico Ferrari, dovette allontanarsi da Milano e si ritirò a Venezia.

Il triangolo di Tartaglia


Il triangolo di Tartaglia è un triangolo formato da numeri naturali, disposti in righe, nel seguente modo:
- nel vertice in alto c'è solo il numero 1;
- ogni riga di numeri ha un numero in più di quella superiore;
- ogni riga inizia e finisce col numero 1;
- ogni altro numero è ottenuto sommando il numero superiore col precedente di quest'ultimo.

Usando queste regole viene fuori un triangolo isoscele rettangolo avente per base un cateto; a volte si preferisce riallineare le righe in modo da ottenere un normale triangolo isoscele.
Ecco le prime righe del triangolo:

Colonne (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Riga 0: 1
Riga 1: 1 1
Riga 2: 1 2 1
Riga 3: 1 3 3 1
Riga 4: 1 4 6 4 1
Riga 5: 1 5 10 10 5 1
Riga 6: 1 6 15 20 15 6 1
Riga 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
Riga 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Questo triangolo numerico ha moltissime proprietà e altrettante applicazioni, in particolare in algebra e in calcolo combinatorio, eccone alcune.

  1. Il triangolo ha infinite righe; il numero di colonne aumenta scorrendo le righe.
  2. In generale il numero di colonne di una riga è uguale al numero della riga + 1.
  3. Ogni riga è simmetrica: è indifferente leggerla partendo da sinistra o da destra.
  4. La somma dei numeri della riga N fa 2N;
  5. La somma di tutti i numeri dalla riga 0 alla riga N è 2N+1 – 1

Secondo la definizione, il numero della riga N e nella colonna k (con k ≤ N), si ottiene come somma tra due numeri della riga N – 1: quello della colonna k e quello della colonna k – 1.
Ad esempio 21 (riga 7, col 2) si ottiene come somma tra 15 (riga 6, col 2) e 6 (riga 6, col 1).
In alternativa, ogni numero diverso da 1 si può calcolare come somma tra tutti i numeri della colonna precedente, dalla prima riga possibile alla riga superiore al numero: ad esempio 56 (riga 8, col 3) si può ottenere come somma di tutti i numeri della colonna 2, dalla prima riga possibile (la riga 2) alla riga superiore di 56 (riga 7).

La riga N fornisce i coefficienti per lo sviluppo della potenza di un binomio: (A + B)N; tali coefficienti sono detti per l'appunto coefficienti binomiali [vedi prodotti notevoli].
Il coefficiente binomiale che si trova nella riga N e nella colonna k (con k ≤ N) è denotato con C N,k :

Colonne (0) (1) (2) (N–1) (N)
Riga N C N,0 C N,1 C N,2 C N,N-1 C N,N

Il coefficiente binomiale CN,k indica il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono ottenere in un insieme di N elementi; per calcolare il coefficiente binomiale vale la formula:

coefficiente binomiale

Come conseguenza del punto precedente, il coefficiente binomiale CN,k rappresenta anche il numero di combinazioni possibili di ordine k, in un insieme di N elementi.

Se si colorano i numeri pari e dispari i due modi diversi, si ottiene una figura frattale; più in generale, scegliendo un numero naturale M e colorondo i numeri della tabella a seconda del resto della divisione per M, si ottiene una figura frattale multicolore.
Nella sezione download è possibile scaricare alcuni file sul triangolo di Tartaglia.


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